Determine a equação paramétrica e simétrica da reta r que passa por P=(2,1,5) e é perpendicular aos vetores v=(1,-1,2) e w=(2,1,-1). Além disso, calcule a distância da reta até o ponto A=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por P=(2,1,5) e é perpendicular aos vetores v=(1,-1,2) e w=(2,1,-1). Em geometria analítica em \mathbb{R}^3, se uma reta é perpendicular a dois vetores, então seu vetor direção é dado pelo produto vetorial desses dois vetores:
u = v \times w.
Depois de obter u, podemos escrever a equação paramétrica e a equação simétrica de r. Em seguida, para calcular a distância do ponto A=(1,1,0) à reta r, usamos a fórmula
d=\frac{\bigl\|\overrightarrow{PA}\times u\bigr\|}{\|u\|},
onde \overrightarrow{PA}=A-P.

Passo 2

Calcular o vetor direção u = v \times w.
u = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & -1 & 2 \\[3pt] 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-1)(-1)-2\cdot1\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1\cdot(-1)-2\cdot2\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1\cdot1-(-1)\cdot2\bigr).
Calculando cada cofactor:
\mathbf{i}(1-2) - \mathbf{j}(-1-4) + \mathbf{k}(1+2) = -\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} + 3\,\mathbf{k}.
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u = (-1,\,5,\,3).]

Passo 3

Com o ponto P=(2,1,5) e o vetor direção u=(-1,5,3), a equação paramétrica de r é
\begin{cases} x = 2 - t,\\\ y = 1 + 5t,\\\ z = 5 + 3t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Daí a equação simétrica é
\frac{x-2}{-1} \;=\;\frac{y-1}{5}\;=\;\frac{z-5}{3}.

Passo 4

Formar o vetor \overrightarrow{PA}=A-P com A=(1,1,0) e P=(2,1,5):
\overrightarrow{PA} = (1-2,\;1-1,\;0-5) = (-1,\,0,\,-5).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{PA}\times u:
\overrightarrow{PA}\times u =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[3pt] -1 & 0 & -5 \\[3pt] -1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot3 - (-5)\cdot5) - \mathbf{j}\bigl((-1)\cdot3 -(-5)\cdot(-1)\bigr) + \mathbf{k}\bigl((-1)\cdot5 - 0\cdot(-1)\bigr).
Isso dá
\overrightarrow{PA}\times u = \mathbf{i}(0+25) - \mathbf{j}(-3-5) + \mathbf{k}(-5-0) = (25,\;8,\;-5).]

Passo 6

Calcular as normas:
\bigl\|\overrightarrow{PA}\times u\bigr\| = \sqrt{25^2 + 8^2 + (-5)^2} = \sqrt{625 + 64 + 25} = \sqrt{714},
\|u\| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
d = \frac{\sqrt{714}}{\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{714}{35}} = \sqrt{\frac{102}{5}} = \frac{\sqrt{510}}{5}.

Resposta

A equação paramétrica de r\) é \[\begin{cases} x = 2 - t,\\\ y = 1 + 5t,\\\ z = 5 + 3t, \end{cases}
a equação simétrica é
\frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{5} = \frac{z-5}{3},
e a distância do ponto A\] à reta \(r é
d = \frac{\sqrt{510}}{5}.

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