Determine o centro e o raio da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}-16 x+8 y+4 z+75=0

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de uma esfera e pede o centro e o raio. O conteúdo aqui é identificar a forma canônica da esfera por meio de completar o quadrado nas variáveis x, y e z.

Passo 2

Agrupamos termos e completamos quadrados:
x^{2}-16x = (x-8)^{2} - 64,
y^{2}+8y = (y+4)^{2} - 16,
z^{2}+4z = (z+2)^{2} - 4.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
(x-8)^{2} - 64 + (y+4)^{2} - 16 + (z+2)^{2} - 4 + 75 = 0.
Somando as constantes obtemos -64 - 16 - 4 + 75 = -9. Assim,
(x-8)^{2} + (y+4)^{2} + (z+2)^{2} - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-8)^{2} + (y+4)^{2} + (z+2)^{2} = 9.

Passo 4

Na forma canônica (x-h)^{2} + (y-k)^{2} + (z-\ell)^{2} = r^{2}, identificamos
h = 8,\quad k = -4,\quad \ell = -2,\quad r^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; r = 3.

Resposta

O centro da esfera é (8,-4,-2) e o raio é 3.

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