Determine a equação do plano que contém o ponto (2,-5,1) e a reta r: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que contém o ponto (2,-5,1) e a reta
r: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos usar que um plano pode ser escrito como
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
onde \mathbf{n} é o vetor normal e \mathbf{r_0} é um ponto do plano. Para achar \mathbf{n}, bastam dois vetores diretores do plano e o produto vetorial.
Passo 2
Parametrizamos a reta definindo \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{-1}=t. Assim,
x=2t,\quad y=3t,\quad z=-t.
Um vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(2,3,-1),
e um ponto nela, por exemplo para t=1, é
\mathbf{P_0}=(2,3,-1).
Passo 3
Construímos um segundo vetor no plano ligando \mathbf{P_0} ao ponto dado \mathbf{P}=(2,-5,1):