Determine a equação do plano que contém o ponto (2,-5,1) e a reta r: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém o ponto (2,-5,1) e a reta
r: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-1}.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos usar que um plano pode ser escrito como
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0,
onde \mathbf{n} é o vetor normal e \mathbf{r_0} é um ponto do plano. Para achar \mathbf{n}, bastam dois vetores diretores do plano e o produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta definindo \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{-1}=t. Assim,
x=2t,\quad y=3t,\quad z=-t.
Um vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(2,3,-1),
e um ponto nela, por exemplo para t=1, é
\mathbf{P_0}=(2,3,-1).

Passo 3

Construímos um segundo vetor no plano ligando \mathbf{P_0} ao ponto dado \mathbf{P}=(2,-5,1):
\mathbf{u} = \mathbf{P}-\mathbf{P_0} = (2,-5,1)-(2,3,-1) = (0,-8,2).

Passo 4

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{u}:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ 0 & -8 & 2 \end{vmatrix} = (-2,-4,-16).
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
\mathbf{n} = (1,2,8).

Passo 5

Escrevemos a equação do plano com \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{P})=0:
(1,2,8)\cdot\bigl((x,y,z)-(2,-5,1)\bigr)=0.
Expandindo:
1\,(x-2)+2\,(y+5)+8\,(z-1)=0
x-2+2y+10+8z-8=0
x+2y+8z=0.

Resposta

A equação do plano é
x + 2y + 8z = 0.

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