Determine uma equação do plano nos casos citados.
que passa pelos pontos A(-2,1,1), B(0,2,3) e C(1,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém os pontos A(-2,1,1), B(0,2,3) e C(1,0,-1).
Para isso, vamos usar o método vetorial:
  1. Calcular dois vetores diretores do plano, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
  2. Obter o vetor normal \mathbf{n} ao plano como \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
  3. Usar a forma ponto–normal do plano \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0.

Passo 2

Calcular os vetores
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-(-2),\,2-1,\,3-1) = (2,\,1,\,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (1-(-2),\,0-1,\,-1-1) = (3,\,-1,\,-2).

Passo 3

Determinar o vetor normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \bigl(1\cdot(-2)-2\cdot(-1),\,-\bigl(2\cdot(-2)-2\cdot3\bigr),\,2\cdot(-1)-1\cdot3\bigr).
Logo,
\mathbf{n} = ( -2+2,\,-(-4-6),\,-2-3 ) = (0,\,10,\,-5).
Podemos simplificar dividindo por 5:
\mathbf{n} = (0,\,2,\,-1).

Passo 4

Usando a forma ponto–normal do plano e o ponto A(-2,1,1):
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(-2,1,1)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (0,2,-1)\cdot(x+2,\,y-1,\,z-1)=0.
Isso dá
0\cdot(x+2) + 2(y-1) -1\,(z-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y -2 - z +1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y - z -1 = 0.
Verificação rápida em B(0,2,3):
2\cdot2 - 3 -1 = 4 -3 -1 = 0,
e em C(1,0,-1):
2\cdot0 - (-1) -1 = 0 +1 -1 = 0.

Resposta

A equação do plano é
2y - z - 1 = 0.

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