Determine a equação do plano que contém o ponto P(3,-2,1) e tem vetor normal \vec{n}=(2,-5,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano em \mathbb{R}^3 que passa pelo ponto P(3,-2,1) e cujo vetor normal é \vec{n}=(2,-5,3). O conteúdo principal aqui é a forma ponto–normal de um plano.

Passo 2

A forma ponto–normal diz que, se \vec{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P(x_{0},y_{0},z_{0}) é um ponto do plano, então qualquer ponto (x,y,z) do plano satisfaz
a\,(x - x_{0}) \;+\; b\,(y - y_{0}) \;+\; c\,(z - z_{0}) \;=\; 0.

Passo 3

Aqui temos a=2, b=-5, c=3 e (x_{0},y_{0},z_{0})=(3,-2,1). Substituindo esses valores na forma ponto–normal, obtemos
2\,(x - 3)\;+\;(-5)\,(y + 2)\;+\;3\,(z - 1)\;=\;0.

Passo 4

Agora, é só distribuir e coletar termos semelhantes:
2x - 6 \;-\;5y - 10 \;+\;3z - 3 \;=\;0
2x - 5y + 3z \;-\;(6 + 10 + 3) \;=\;0
2x - 5y + 3z - 19 \;=\;0.

Resposta

2x - 5y + 3z - 19 = 0

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