O plano passa pelo ponto A(2,1,-1) e é perpendicular à reta:
\mathrm{r}: \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-3}{2}
Determine sua equação geral.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que passa por A(2,1,-1) e é perpendicular à reta
\mathrm{r}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-3}{2}.
Conteúdo: equação de plano no espaço e vetor normal.

Passo 2

Da forma simétrica da reta extraímos seu vetor diretor \mathbf{v}. Como
\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-3}{2},
temos
\mathbf{v} = (3,\,-4,\,2).

Passo 3

Um plano perpendicular à reta deve ter vetor normal \mathbf{n} paralelo a \mathbf{v}. Logo podemos escolher
\mathbf{n} = (3,\,-4,\,2).

Passo 4

A equação geral do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) e passando por A(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=3, b=-4, c=2 e A(2,1,-1):
3(x-2)-4(y-1)+2\bigl(z+1\bigr)=0.
Desenvolvendo:
3x-6 -4y+4 +2z+2 = 0
3x -4y +2z + ( -6+4+2 ) = 0
3x -4y +2z = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
3x - 4y + 2z = 0.

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