Determine a equação do plano Pi que contém as retas paralelas r:cx=-2+t y=5+2 t z=-1-3 t e s:cx=4+2 h y=-1+4 h z=-6 h.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano Pi que contém duas retas paralelas r e s. Vamos usar geometria analítica no espaço: identificaremos vetores diretores e pontos em cada reta, depois obteremos a normal do plano via produto vetorial e, por fim, a equação ponto-normal.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores de cada reta:
vr = (1,2,-3), vs = (2,4,-6)
Observamos que vs = 2,vr, confirmando que as retas são paralelas.

Passo 3

Escolhemos um ponto em cada reta, pegando o parâmetro zero:
Pin r:;P=(-2,5,-1), Qin s:;Q=(4,-1,0)
O vetor que liga P a Q é
PQ = Q - P = (6,-6,1)

Passo 4

No plano estão os vetores ,vr e PQ. A normal ,n do plano é dada pelo produto vetorial
n = vr times PQ = (1,2,-3)times(6,-6,1) = (-16,-19,-18)
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal e usar
n = (16,19,18)

Passo 5

A equação ponto-normal do plano é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0
ou seja
16(x+2)+19(y-5)+18(z+1)=0
Desenvolvendo, obtemos
16x+19y+18z-45=0

Resposta

16x + 19y + 18z - 45 = 0

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