O ângulo 0 <= theta <= 90^circ entre duas retas, é o ângulo entre os seus vetores diretores. Desta forma, determine a distância entre as retas r:cx=-2-t y=t z=3-2 t e s:cx=2 h y=-6+h z=1+h.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r e s no espaço. O método padrão usa vetores diretores de cada reta e a fórmula da distância entre retas “encurvadas” (skew):
d ;=;l|(P0Q0)cdot(vec utimesvec v)r||vec utimesvec v|
onde vec u e vec v são os vetores diretores de r e s, e P0, Q0 são pontos quaisquer em r e s, respectivamente.

Passo 2

Extraímos de cada forma paramétrica um ponto e o vetor diretor:
– Para , tomamos [t=0) e temos
– Para e temos

Passo 3

Calculamos o produto vetorial vec utimesvec v:
vec utimesvec v =det i& j& k-1&1&-22&1&1 =(3,,-3,,-3),
e seu módulo
|vec utimesvec v|=raiz3^2+(-3)^2+(-3)^2 =raiz27=3raiz3

Passo 4

Formamos o vetor que vai de P0 a Q0:
P0Q0=Q0-P0=(0-(-2),,-6-0,;1-3)=(2,-6,-2)
Em seguida, o produto escalar com vec utimesvec v:
(P0Q0)cdot(vec utimesvec v) =(2,-6,-2)cdot(3,-3,-3)=6+18+6=30

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d =l|(P0Q0)cdot(vec utimesvec v)r||vec utimesvec v| =303raiz3 =10raiz3 =10raiz33

Resposta

10raiz33

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