Determine a equação do plano que passa pelo ponto \mathrm{A}(1,3,5) e seja ortogonal ao vetor \mathrm{n}=(2,4, 6).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano em \mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A(1,3,5) e tem como vetor normal \mathbf{n}=(2,4,6). Para isso, usaremos a forma vetorial da equação de um plano:
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0,
onde (x,y,z) é um ponto genérico do plano e A é o ponto dado.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a operação vetorial com \mathbf{n}=(2,4,6) e A=(1,3,5):
(2,4,6)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,3,5)\bigr)=0.

Passo 3

O produto escalar fica:
2(x-1)+4(y-3)+6(z-5)=0.

Passo 4

Expandindo os termos, obtemos:
2x-2 + 4y-12 + 6z-30 = 0
ou seja,
2x + 4y + 6z - 44 = 0.

Passo 5

Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
x + 2y + 3z - 22 = 0.

Resposta

A equação do plano é
x + 2y + 3z - 22 = 0.

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