Determine um vetor unitário perpendicular ao plano \sqrt{2} x+y-z+5=0

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário perpendicular ao plano
\sqrt{2}\,x + y - z + 5 = 0.
Para isso, vamos extrair o vetor normal ao plano e depois normalizá-lo.

Passo 2

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelos coeficientes de x, y e z:
\mathbf{n} = \bigl(\sqrt{2},\,1,\,-1\bigr).

Passo 3

Calculamos a norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2 + 1 + 1} = \sqrt{4} = 2.

Passo 4

O vetor unitário \mathbf{u} é obtido dividindo \mathbf{n} pela sua norma:
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2},\,1,\,-1\bigr) = \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2}\Bigr).

Resposta

Um vetor unitário perpendicular ao plano é
\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2}\Bigr).

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