Determine a equação do plano que passa pelo ponto A e é normal ao vetor
e
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto
e é normal ao vetor
. Dados fornecidos:
- Ponto
. - Vetor normal
.
O que precisa ser entregue: a equação cartesiana do plano que contéme tem como vetor normal.
Passo 2
Conceito-chave (explicado de forma bem direta): um vetor normal a um plano é um vetor que é perpendicular a todos os vetores que estão dentro do plano. Para escrever a equação de um plano usando um vetor normal, usamos a fórmula vetorial
onde:
-
é o vetor normal (no nosso caso ); -
é o vetor posição de um ponto genérico do plano; -
é o vetor posição de um ponto conhecido do plano (no nosso caso o vetor de ).
Essa fórmula diz: o vetor que vai dea um ponto qualquer do plano deve ser orthogonal (produto escalar zero) ao vetor normal.
Passo 3
Definir os vetores posição pra aplicar a fórmula:
- Vetor posição genérico:
. - Vetor posição do ponto dado:
.
Calcular a diferença:
Passo 4
Aplicar a fórmula do plano com o produto escalar:
Lembrete rápido sobre produto escalar: se
e
, então
Aqui isso significa que devemos somar os produtos coordenada a coordenada.
Passo 5
Calcular explicitamente o produto escalar e igualar a zero (condição para o plano):
Essa é a forma do plano obtida diretamente a partir da definição com o vetor normal e o ponto.
Passo 6
Verificação rápida (para ficar mais seguro): substituir as coordenadas de
na expressão obtida:
Como a verificação deu
, o ponto
realmente pertence ao plano definido pela equação do passo anterior — está tudo consistente.