Determine a equação do plano que passa pelo ponto A e é normal ao vetor \vec{n}
A=(-1,2,3) e \vec{n}=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto A e é normal ao vetor \vec{n}. Dados fornecidos:
  • Ponto A = (-1,2,3).
  • Vetor normal \vec{n} = (1,1,1).
    O que precisa ser entregue: a equação cartesiana do plano que contém A e tem \vec{n} como vetor normal.

Passo 2

Conceito-chave (explicado de forma bem direta): um vetor normal a um plano é um vetor que é perpendicular a todos os vetores que estão dentro do plano. Para escrever a equação de um plano usando um vetor normal, usamos a fórmula vetorial
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,
onde:
  • \vec{n} é o vetor normal (no nosso caso (1,1,1));
  • \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição de um ponto genérico do plano;
  • \vec{r_0} é o vetor posição de um ponto conhecido do plano (no nosso caso o vetor de A).
    Essa fórmula diz: o vetor que vai de A a um ponto qualquer do plano deve ser orthogonal (produto escalar zero) ao vetor normal.

Passo 3

Definir os vetores posição pra aplicar a fórmula:
  • Vetor posição genérico: \vec{r}=(x,y,z).
  • Vetor posição do ponto dado: \vec{r_0}=(-1,2,3).
    Calcular a diferença:
\vec{r}-\vec{r_0}=(x+1,\;y-2,\;z-3).

Passo 4

Aplicar a fórmula do plano com o produto escalar:
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0}) = (1,1,1)\cdot(x+1,\;y-2,\;z-3).
Lembrete rápido sobre produto escalar: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui isso significa que devemos somar os produtos coordenada a coordenada.

Passo 5

Calcular explicitamente o produto escalar e igualar a zero (condição para o plano):
(1,1,1)\cdot(x+1,\;y-2,\;z-3)=(x+1)+(y-2)+(z-3)=0.
Essa é a forma do plano obtida diretamente a partir da definição com o vetor normal e o ponto.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar mais seguro): substituir as coordenadas de A na expressão obtida:
(-1+1)+(2-2)+(3-3)=0+0+0=0.
Como a verificação deu 0, o ponto A realmente pertence ao plano definido pela equação do passo anterior — está tudo consistente.

Resposta

\;x+y+z=4

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