A distância entre as retas r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,-2,1)+\alpha(4,1,2), \alpha \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
◯ a. 2,4
◯ b. 0,53
◯ c. 1,19
◯ d. 1,96
◯ e. 3,27

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede a distância entre elas, com opções de resposta. As informações fornecidas são:
  • Reta r passa pelo ponto \(A=(1,2,3)) e tem vetor diretor \(\vec{u}=(-1,2,3)), escrita como X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
  • Reta s passa pelo ponto \(B=(-1,-2,1)) e tem vetor diretor \(\vec{v}=(4,1,2)), escrita como X=(-1,-2,1)+\alpha(4,1,2),\\ \alpha\in\mathbb{R}.
  • O que é pedido: a distância entre as retas r e s. Opções: \(2,4, 0,53, 1,19, 1,96, 3,27).

Passo 2

Vamos aprender a fórmula que usamos para a distância entre duas retas no espaço. Seja uma reta passando por A com vetor diretor \vec{u} e outra reta passando por B com vetor diretor \vec{v}. Defina o vetor que liga A a B:
\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}.
Se as retas não são paralelas (ou seja, \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}), a menor distância entre elas é dada por
d=\frac{\bigl|\vec{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\bigr|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}.
Explicando cada coisa:
  • \vec{u} e \vec{v} são os vetores diretores das retas.
  • \vec{u}\times\vec{v} é o produto vetorial; ele é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}.
  • \bigl|\vec{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\bigr| é o valor absoluto do produto escalar entre \vec{AB} e \vec{u}\times\vec{v}. Geometricamente, o produto escalar absoluto dá o volume do paralelepípedo formado por \vec{AB},\vec{u},\vec{v}.
  • \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área da base do paralelepípedo (a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}).
  • Assim, a razão volume/área = altura do paralelepípedo, que coincide com a distância entre as retas (o segmento mínimo é perpendicular a ambas).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo com os vetores do enunciado.

Passo 3

Identificar os pontos e vetores dados e calcular \vec{AB}.
  • Ponto em r: \vec{A}=(1,2,3).
  • Vetor diretor de r: \vec{u}=(-1,2,3).
  • Ponto em s: \vec{B}=(-1,-2,1).
  • Vetor diretor de s: \vec{v}=(4,1,2).
Calculemos \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}:
\vec{AB}=(-1-1,\\\ -2-2,\\\ 1-3)=(-2,-4,-2).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a regra do determinante:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
  • Componente x (i): 2\cdot2 - 3\cdot1 = 4-3 = 1.
  • Componente y (j): -1\cdot2 - 3\cdot4 = -2-12 = -14. Lembre-se do sinal ao colocar no vetor: fica -(-14)=+14 no lugar da componente y.
  • Componente z (k): -1\cdot1 - 2\cdot4 = -1-8 = -9.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(1,\,14,\,-9).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
\vec{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = (-2)\cdot 1 + (-4)\cdot 14 + (-2)\cdot (-9).
Fazendo as contas:
(-2)\cdot 1 = -2,\quad (-4)\cdot 14 = -56,\quad (-2)\cdot(-9)=+18.
Somando:
-2 -56 +18 = -40.
Tomamos o valor absoluto do produto escalar:
\bigl|\vec{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\bigr| = 40.

Passo 6

Calcular a norma de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{1^2+14^2+(-9)^2}=\sqrt{1+196+81}=\sqrt{278}.
Agora aplicar a fórmula da distância:
d=\frac{40}{\sqrt{278}}.
Vamos aproximar numericamente \sqrt{278}. Sabendo que 16^2=256 e 17^2=289, \sqrt{278} está entre 16 e 17. Uma boa aproximação é \sqrt{278}\approx16{,}67. Então
d\approx\frac{40}{16{,}67}\approx2{,}40.
Arredondando para duas casas decimais dá 2{,}40, que corresponde à opção indicada como \(2,4) no enunciado.

Passo 7

Checagem rápida: \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0} (obtivemos (1,14,-9)), então as retas não são paralelas e a fórmula usada é válida. O resultado numérico bate com uma das opções do exercício.

Resposta

a. 2,4

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