A distância entre as retas r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,-2,1)+\alpha(4,1,2), \alpha \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
◯ a. 2,4
◯ b. 0,53
◯ c. 1,19
◯ d. 1,96
◯ e. 3,27
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede a distância entre elas, com opções de resposta. As informações fornecidas são:
Reta r passa pelo ponto \(A=(1,2,3)) e tem vetor diretor \(\vec{u}=(-1,2,3)), escrita como X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
Reta s passa pelo ponto \(B=(-1,-2,1)) e tem vetor diretor \(\vec{v}=(4,1,2)), escrita como X=(-1,-2,1)+\alpha(4,1,2),\\ \alpha\in\mathbb{R}.
O que é pedido: a distância entre as retas r e s. Opções: \(2,4, 0,53, 1,19, 1,96, 3,27).
Passo 2
Vamos aprender a fórmula que usamos para a distância entre duas retas no espaço. Seja uma reta passando por A com vetor diretor \vec{u} e outra reta passando por B com vetor diretor \vec{v}. Defina o vetor que liga A a B:
\vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}.
Se as retas não são paralelas (ou seja, \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0}), a menor distância entre elas é dada por
\vec{u} e \vec{v} são os vetores diretores das retas.
\vec{u}\times\vec{v} é o produto vetorial; ele é um vetor perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v}.
\bigl|\vec{AB}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\bigr| é o valor absoluto do produto escalar entre \vec{AB} e \vec{u}\times\vec{v}. Geometricamente, o produto escalar absoluto dá o volume do paralelepípedo formado por \vec{AB},\vec{u},\vec{v}.
\|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área da base do paralelepípedo (a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}).
Assim, a razão volume/área = altura do paralelepípedo, que coincide com a distância entre as retas (o segmento mínimo é perpendicular a ambas).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo com os vetores do enunciado.
Passo 3
Identificar os pontos e vetores dados e calcular \vec{AB}.
Ponto em r: \vec{A}=(1,2,3).
Vetor diretor de r: \vec{u}=(-1,2,3).
Ponto em s: \vec{B}=(-1,-2,1).
Vetor diretor de s: \vec{v}=(4,1,2).
Calculemos \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A}:
\vec{AB}=(-1-1,\\\ -2-2,\\\ 1-3)=(-2,-4,-2).
Passo 4
Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a regra do determinante:
Vamos aproximar numericamente \sqrt{278}. Sabendo que 16^2=256 e 17^2=289, \sqrt{278} está entre 16 e 17. Uma boa aproximação é \sqrt{278}\approx16{,}67. Então
d\approx\frac{40}{16{,}67}\approx2{,}40.
Arredondando para duas casas decimais dá 2{,}40, que corresponde à opção indicada como \(2,4) no enunciado.
Passo 7
Checagem rápida: \vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{0} (obtivemos (1,14,-9)), então as retas não são paralelas e a fórmula usada é válida. O resultado numérico bate com uma das opções do exercício.