A distância entre as retas r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,-2,1)+\alpha(-3,-7,-5), \alpha \in \mathbb{R} é:
Escolha uma opção:
◯ a. 3,7
◯ b. 2,13
◯ c. 0,36
◯ d. 1,75
◯ e. 2,8

Passo 1

Vamos anotar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Retas dadas:
    • r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3),\\ \lambda\in\mathbb{R}.
    • s: X=(-1,-2,1)+\alpha(-3,-7,-5),\\ \alpha\in\mathbb{R}.
  • O enunciado pede: calcular a distância entre as retas r e s.
Informações extraídas (peguei-as do enunciado acima):
  • Ponto em r: A=(1,2,3).
  • Vetor diretor de r: v_1=(-1,2,3).
  • Ponto em s: B=(-1,-2,1).
  • Vetor diretor de s: v_2=(-3,-7,-5).

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (explicação didática curta).
  • Para duas retas no espaço que não são paralelas nem coincidentes, a distância entre elas (quando são reversas/escapadas) pode ser obtida projetando o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta sobre o vetor perpendicular comum às duas retas. Esse vetor perpendicular comum é paralelo ao produto vetorial v_1\times v_2.
  • A fórmula usada é
d=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\big(v_1\times v_2\big)\right|}{\|v_1\times v_2\|},
onde \overrightarrow{AB}=B-A, \cdot é produto escalar e \times é produto vetorial. Explicando: o numerador dá o volume (módulo) do paralelepípedo formado por \overrightarrow{AB},v_1,v_2; dividindo pela área da base \|v_1\times v_2\| obtém-se a altura desse paralelepípedo, que é justamente a distância entre as retas.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB}, v_1 e v_2 (já identificados), escritos explicitamente:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1,-2,1)-(1,2,3)=(-2,-4,-2).
v_1 = (-1,2,3),\qquad v_2 = (-3,-7,-5).

Passo 4

Calcular o produto vetorial v_1\times v_2 passo a passo (determinante de 3×3):
v_1\times v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -1 & 2 & 3\\[4pt] -3 & -7 & -5 \end{vmatrix}.
Calcule cada componente:
  • Componente \mathbf{i}: 2\cdot(-5)-3\cdot(-7) = -10+21 = 11.
  • Componente \mathbf{j}: -1\cdot(-5)-3\cdot(-3) = 5+9 = 14, mas o sinal do termo \mathbf{j} no determinante é negativo, então fica -14.
  • Componente \mathbf{k}: -1\cdot(-7)-2\cdot(-3) = 7+6 = 13.
Logo
v_1\times v_2 = (11,-14,13).]

Passo 5

Calcular o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot (v_1\times v_2):
\overrightarrow{AB}\cdot (v_1\times v_2)=(-2,-4,-2)\cdot(11,-14,13).
Multiplicando componente a componente e somando:
-2\cdot11 + (-4)\cdot(-14) + (-2)\cdot13 = -22 +56 -26 = 8.
O módulo é \left|8\right|=8.

Passo 6

Calcular a norma de v_1\times v_2:
\|v_1\times v_2\|=\sqrt{11^2+(-14)^2+13^2}=\sqrt{121+196+169}=\sqrt{486}.
Fatorando \sqrt{486}=\sqrt{81\cdot6}=9\sqrt{6}. Então
\|v_1\times v_2\|=9\sqrt{6}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
d=\frac{8}{9\sqrt{6}}.
Agora calcular a aproximação decimal para comparar com as opções: \sqrt{6}\approx2,4494897, então 9\sqrt{6}\approx22,0454 e
d\approx\frac{8}{22,0454}\approx0,3629\ldots
Arredondando com duas casas decimais fica aproximadamente 0,36, que corresponde à alternativa indicada.

Resposta

c. 0,36

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