Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados.
(3,2,1),(2,1,-1) e (-1,3,2)

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados.”
Os pontos fornecidos são:
  • P_1=(3,2,1)
  • P_2=(2,1,-1)
  • P_3=(-1,3,2)
Pergunta explícita: encontrar uma equação do plano que contém P_1, P_2 e P_3.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem resolver ainda): para encontrar a equação de um plano em \mathbb{R}^3 que passe por três pontos não colineares, uma forma prática é:
  • construir dois vetores que estejam no plano, por exemplo \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3};
  • obter um vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial (cross product) desses dois vetores;
  • usar o vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e um ponto do plano para escrever a equação cartesiana a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0, que pode ser expandida para ax+by+cz+d=0.
Agora vou executar esses passos detalhadamente e explicar cada cálculo.

Passo 3

Calcular os vetores no plano usando os pontos. Subtrair coordenadas componente a componente:
\overrightarrow{P_1P_2}=P_2-P_1=(2-3,\;1-2,\;-1-1)=(-1,\,-1,\,-2).
\overrightarrow{P_1P_3}=P_3-P_1=(-1-3,\;3-2,\;2-1)=(-4,\;1,\;1).
Comentário didático: ao formar \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3} estamos pegando dois vetores que começam em P_1 e vão até P_2 e P_3. Esses vetores estão contidos no plano definido pelos três pontos.

Passo 4

Explicar o produto vetorial e porque ele dá o vetor normal: o produto vetorial de dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é o vetor
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Esse vetor é ortogonal (perpendicular) a \mathbf{u} e a \mathbf{v}. No nosso caso, ao calcular \overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3} obtemos um vetor normal ao plano que contém os dois vetores (e, portanto, ao plano que contém os três pontos).

Passo 5

Calcular o produto vetorial passo a passo com os vetores encontrados:
Tomando \mathbf{u}=\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,-1,-2) e \mathbf{v}=\overrightarrow{P_1P_3}=(-4,1,1),
\mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Agora calcule componente a componente:
n_x = u_2v_3 - u_3v_2 = (-1)\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = -1 - (-2) = 1,
n_y = u_3v_1 - u_1v_3 = (-2)\cdot(-4) - (-1)\cdot 1 = 8 - (-1) = 9,
n_z = u_1v_2 - u_2v_1 = (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot(-4) = -1 - 4 = -5.
Logo o vetor normal é
\mathbf{n}=(1,\;9,\;-5).

Passo 6

Interpretar o vetor normal e escrever a forma geral do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal ao plano e (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então a equação do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui temos a=1, b=9, c=-5. Podemos usar qualquer um dos três pontos; escolho P_1=(3,2,1) para substituir (x_0,y_0,z_0).

Passo 7

Substituindo na fórmula:
1\bigl(x-3\bigr)+9\bigl(y-2\bigr)-5\bigl(z-1\bigr)=0.
Agora expandir e simplificar para a forma ax+by+cz+d=0.

Passo 8

Expandindo termo a termo:
x-3 + 9y-18 -5z+5 = 0.
Somando os termos constantes: -3-18+5 = -16. Portanto
x + 9y -5z -16 = 0.
Verificação rápida (opcional mas útil na prova): testar se os outros pontos satisfazem a equação.
  • Para P_2=(2,1,-1): 2 + 9\cdot 1 -5\cdot(-1) -16 = 2+9+5-16=0.
  • Para P_3=(-1,3,2): -1 + 9\cdot 3 -5\cdot 2 -16 = -1+27-10-16=0.
    Ambos satisfazem, então a equação está correta.

Resposta

x+9y-5z-16=0

Exercícios relacionados