Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados. (3,2,1),(2,1,-1) e (-1,3,2)
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma equação do plano que passa pelos pontos dados.”
Os pontos fornecidos são:
P_1=(3,2,1)
P_2=(2,1,-1)
P_3=(-1,3,2)
Pergunta explícita: encontrar uma equação do plano que contém P_1, P_2 e P_3.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem resolver ainda): para encontrar a equação de um plano em \mathbb{R}^3 que passe por três pontos não colineares, uma forma prática é:
construir dois vetores que estejam no plano, por exemplo \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3};
obter um vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial (cross product) desses dois vetores;
usar o vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e um ponto do plano para escrever a equação cartesiana a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0, que pode ser expandida para ax+by+cz+d=0.
Agora vou executar esses passos detalhadamente e explicar cada cálculo.
Passo 3
Calcular os vetores no plano usando os pontos. Subtrair coordenadas componente a componente:
Comentário didático: ao formar \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3} estamos pegando dois vetores que começam em P_1 e vão até P_2 e P_3. Esses vetores estão contidos no plano definido pelos três pontos.
Passo 4
Explicar o produto vetorial e porque ele dá o vetor normal: o produto vetorial de dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é o vetor
Esse vetor é ortogonal (perpendicular) a \mathbf{u} e a \mathbf{v}. No nosso caso, ao calcular \overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3} obtemos um vetor normal ao plano que contém os dois vetores (e, portanto, ao plano que contém os três pontos).
Passo 5
Calcular o produto vetorial passo a passo com os vetores encontrados:
Tomando \mathbf{u}=\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,-1,-2) e \mathbf{v}=\overrightarrow{P_1P_3}=(-4,1,1),
Interpretar o vetor normal e escrever a forma geral do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal ao plano e (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então a equação do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui temos a=1, b=9, c=-5. Podemos usar qualquer um dos três pontos; escolho P_1=(3,2,1) para substituir (x_0,y_0,z_0).