Calcule
, onde
é a região do plano
limitada por
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região do plano limitada pelas retas
,
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A região
é o triângulo com vértices , e ; ou seja, , e . - Quer-se o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Observação sobre a melhor mudança de variáveis (por que escolhi essa mudança).
- A expressão dentro do cosseno depende apenas das combinações
e , na forma . - Então faz muito sentido usar a mudança de variáveis que torna essas combinações as novas coordenadas. Definimos
Essa escolha costuma simplificar integrandos que dependem de quocientes ou combinações lineares como esse.
Passo 3
Expressar
e
em função de
e
(inversão da transformação).
- Somando e subtraindo as definições:
Essas fórmulas nos permitem reescrever a integral em variáveis
.
Passo 4
Calcular o jacobiano da transformação
.
- A matriz Jacobiana
é
- O determinante é
- Portanto
]
Passo 5
Determinar a região
em coordenadas
.
- Pela definição
. Sobre temos (pois vai de até ). - As condições
e dão, usando as fórmulas invertidas,-
. -
.
-
- Portanto, para cada
em , varia entre e . Ou seja,
- (Verificação rápida dos vértices:
e , coerente com as bordas acima.)
Passo 6
Reescrever a integral na nova variável e simplificar o integrando.
- O integrando
em fica . - Lembrando que
e os limites encontrados, a integral torna-se
Passo 7
Calcular a integral interna em
.
- Fazemos a substituição
(para cada ); então . - Quando
temos ; quando temos . - Assim, para
,
- A integral de
é , logo
- Portanto
- Incluindo o fator
externo, a integral interna com o jacobiano dá
Passo 8
Calcular a integral externa em
.
- Agora precisamos integrar em
de a :