Calcule \iint_{D} \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) d x d y, onde D é a região do plano x y limitada por x+y=1, x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} \cos\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right)\,dx\,dy,
onde D é a região do plano limitada pelas retas x+y=1, x=0 e y=0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é \cos\!\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right).
  • A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1); ou seja, x\ge0, y\ge0 e x+y\le1.
  • Quer-se o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Observação sobre a melhor mudança de variáveis (por que escolhi essa mudança).
  • A expressão dentro do cosseno depende apenas das combinações x-y e x+y, na forma \dfrac{x-y}{x+y}.
  • Então faz muito sentido usar a mudança de variáveis que torna essas combinações as novas coordenadas. Definimos
u = x-y,\qquad v = x+y.
Essa escolha costuma simplificar integrandos que dependem de quocientes ou combinações lineares como esse.

Passo 3

Expressar x e y em função de u e v (inversão da transformação).
  • Somando e subtraindo as definições:
x = \frac{u+v}{2},\qquad y = \frac{v-u}{2}.
Essas fórmulas nos permitem reescrever a integral em variáveis u,v.

Passo 4

Calcular o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y).
  • A matriz Jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é
\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[6pt] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • O determinante é
\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
  • Portanto dx\,dy = \left|\det\!\left(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right| du\,dv = \frac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 5

Determinar a região D em coordenadas (u,v).
  • Pela definição v=x+y. Sobre D temos 0\le v\le1 (pois x+y vai de 0 até 1).
  • As condições x\ge0 e y\ge0 dão, usando as fórmulas invertidas,
    • x\ge0 \Rightarrow \dfrac{u+v}{2}\ge0 \Rightarrow u\ge -v.
    • y\ge0 \Rightarrow \dfrac{v-u}{2}\ge0 \Rightarrow u\le v.
  • Portanto, para cada v em [0,1], u varia entre -v e v. Ou seja,
\{(u,v): 0\le v\le1,\\\ -v\le u\le v\}.
  • (Verificação rápida dos vértices: (x,y)=(1,0)\mapsto(u,v)=(1,1) e (0,1)\mapsto(u,v)=(-1,1), coerente com as bordas acima.)

Passo 6

Reescrever a integral na nova variável e simplificar o integrando.
  • O integrando \cos\!\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right) em (u,v) fica \cos\!\left(\dfrac{u}{v}\right).
  • Lembrando que dx\,dy=\dfrac{1}{2}\,du\,dv e os limites encontrados, a integral torna-se
\iint_{D}\cos\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right)\,dx\,dy = \int_{v=0}^{1}\int_{u=-v}^{v} \cos\!\left(\frac{u}{v}\right)\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv.

Passo 7

Calcular a integral interna em u.
  • Fazemos a substituição t=\dfrac{u}{v} (para cada v>0); então du=v\,dt.
  • Quando u=-v temos t=-1; quando u=v temos t=1.
  • Assim, para v>0,
\int_{u=-v}^{v} \cos\!\left(\frac{u}{v}\right)\,du = \int_{t=-1}^{1} \cos(t)\, v\,dt = v\int_{-1}^{1}\cos(t)\,dt.
  • A integral de \cos é \sin, logo
\int_{-1}^{1}\cos(t)\,dt = \sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1).
  • Portanto
\int_{u=-v}^{v} \cos\!\left(\frac{u}{v}\right)\,du = v\cdot 2\sin(1).
  • Incluindo o fator \tfrac{1}{2} externo, a integral interna com o jacobiano dá \tfrac{1}{2}\cdot v\cdot 2\sin(1)=v\sin(1).

Passo 8

Calcular a integral externa em v.
  • Agora precisamos integrar em v de 0 a 1:
\int_{0}^{1} v\sin(1)\,dv = \sin(1)\int_{0}^{1} v\,dv = \sin(1)\left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{\sin(1)}{2}.

Resposta

\dfrac{\sin(1)}{2}

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