Encontre a solução geral da equação de Bernoulli abaixo.
Equação de Bernoulli con
. Tomando
temos
Substituindo na equação,
Multiplicando por
, temos
que é uma equação linear de primeira ordem com
.
Fator integrante:
.
Multiplicando a última equação por
,
Como
, segue
Integrando,
Logo,
Como
, temos que a solução geral da equação dada é
Multiplicando a última equação por
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- A equação envolve a derivada
. - Há um termo
não linear. - Deve-se encontrar a família geral de soluções com constante arbitrária (e, se existir, soluções singulares como
).
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação em uma forma mais simples dividindo por
. Isso facilita a manipulação algébrica. Dividindo por
obtemos
Aqui fica explícito o coeficiente do termo linear em
e o fator do termo
.
Passo 3
Agora a ideia da substituição: quando a equação tem um termo
multiplicando uma função de
, é útil transformar a equação usando uma nova função
que seja uma potência de
, de modo a linearizar. Definimos
No problema temos
, então
Vou explicar a relação entre
e
: usando derivada da potência,
Dessa expressão podemos isolar
:
Nota importante: essa operação assume
. A solução
precisa ser verificada separadamente.
Passo 4
Substituímos
em termos de
na forma simplificada da equação do Passo 2:
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Agora dividimos ambos os lados por
(novamente assumindo
):
Lembrando que
, obtemos a equação linear para
:
Multiplicando por
para ficar na forma usual:
Passo 5
Temos uma equação linear de primeira ordem para
:
Identificamos o coeficiente
na forma
. O fator integrante é
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
Calculamos a integral do lado direito passo a passo. Primeiro
faz-se por partes com
,
, obtendo
Portanto
Simplificando,
Substituindo na expressão para
,
onde
é a constante arbitrária (absorvendo
). Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Voltando à variável original: lembrando que definimos
, temos, para soluções com
,
Além dessa família obtida pela transformação, é necessário verificar a possibilidade
que foi excluída ao dividir por potências de
. Substituindo
na equação original:
logo
é de fato uma solução (solução singular).