Encontre a solução geral da equação de Bernoulli abaixo.
3 y^{\prime}+y=(1-2 x) y^{4}
3 y^{\prime}+y=(1-2 x) y^{4}
Equação de Bernoulli con n=4. Tomando
v=y^{1-n}=y^{1-4}=y^{-3}
temos
y=v^{-1 / 3} \text { e } y^{\prime}=-\frac{1}{3} v^{-4 / 3} v^{\prime}
Substituindo na equação,
3\left(-\frac{1}{3}\right) v^{-4 / 3} v^{\prime}+v^{-1 / 3}=(1-2 x) v^{-4 / 3}
Multiplicando por -v^{-4 / 3}, temos
v^{\prime}-v=2 x-1
que é uma equação linear de primeira ordem com P(x)=-1.
Fator integrante: \mu(x)=e^{\int P(x) d x}=e^{-\int d x}=e^{-x}.
Multiplicando a última equação por \mu(x),
e^{-x}\left(v^{\prime}-v\right)=e^{-x}(2 x-1)
Como e^{-x}\left(v^{\prime}-v\right)=\left(e^{-x} v\right)^{\prime}, segue
\left(e^{-x} v\right)^{\prime}=2 x e^{-x}-e^{-x}
Integrando,
\begin{aligned} e^{-x} v & =2 \int x e^{-x} d x-\int e^{-x} d x \\\ & =2\left(-x e^{-x}+\int e^{-x} d x\right)+e^{-x}+C \\\ & =-2 x e^{-x}-2 e^{-x}+e^{-x}+C \\\ & =-2 x e^{-x}-e^{-x}+C \end{aligned}
Logo,
v=-2 x-1+C e^{x}
Como y=v^{-1 / 3}, temos que a solução geral da equação dada é
y=\left(-2 x-1+C e^{x}\right)^{-1 / 3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3\,y^{\prime}+y=(1-2x)\,y^{4}
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • A equação envolve a derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • Há um termo y^{4} não linear.
  • Deve-se encontrar a família geral de soluções com constante arbitrária (e, se existir, soluções singulares como y\equiv0).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação em uma forma mais simples dividindo por 3. Isso facilita a manipulação algébrica. Dividindo por 3 obtemos
y^{\prime}+\frac{1}{3}y=\frac{1-2x}{3}\,y^{4}.
Aqui fica explícito o coeficiente do termo linear em y e o fator do termo y^{4}.

Passo 3

Agora a ideia da substituição: quando a equação tem um termo y^{n} multiplicando uma função de x, é útil transformar a equação usando uma nova função v(x) que seja uma potência de y, de modo a linearizar. Definimos
v=y^{1-n}.
No problema temos n=4, então
v=y^{1-4}=y^{-3}.
Vou explicar a relação entre v^{\prime} e y^{\prime}: usando derivada da potência,
v^{\prime}=\frac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr)=-3\,y^{-4}\,y^{\prime}.
Dessa expressão podemos isolar y^{\prime}:
y^{\prime}=-\frac{1}{3}\,y^{4}\,v^{\prime}.
Nota importante: essa operação assume y\neq0. A solução y\equiv0 precisa ser verificada separadamente.

Passo 4

Substituímos y^{\prime} em termos de v^{\prime} na forma simplificada da equação do Passo 2:
-\frac{1}{3}\,y^{4}\,v^{\prime}+\frac{1}{3}y=\frac{1-2x}{3}\,y^{4}.
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
-\,y^{4}\,v^{\prime}+y=(1-2x)\,y^{4}.
Agora dividimos ambos os lados por y^{4} (novamente assumindo y\neq0):
-\,v^{\prime}+y^{-3}=1-2x.
Lembrando que y^{-3}=v, obtemos a equação linear para v:
-\,v^{\prime}+v=1-2x.
Multiplicando por -1 para ficar na forma usual:
v^{\prime}-v=2x-1.

Passo 5

Temos uma equação linear de primeira ordem para v:
v^{\prime}-v=2x-1.
Identificamos o coeficiente P(x)=-1 na forma v^{\prime}+P(x)v=g(x). O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{-x}\bigl(v^{\prime}-v\bigr)=e^{-x}(2x-1).
O lado esquerdo é a derivada do produto \bigl(e^{-x}v\bigr)^{\prime}, logo
\bigl(e^{-x}v\bigr)^{\prime}=e^{-x}(2x-1).

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
e^{-x}v=\int e^{-x}(2x-1)\,dx + C.
Calculamos a integral do lado direito passo a passo. Primeiro
\int x e^{-x}\,dx
faz-se por partes com u=x, dv=e^{-x}dx, obtendo
\int x e^{-x}\,dx=-x e^{-x}-e^{-x}+C_1=-(x+1)e^{-x}+C_1.
Portanto
\int e^{-x}(2x-1)\,dx=2\int x e^{-x}\,dx-\int e^{-x}\,dx =2\bigl(-x e^{-x}-e^{-x}\bigr)+e^{-x}+C_2.
Simplificando,
\int e^{-x}(2x-1)\,dx=-2x e^{-x}-e^{-x}+C_2.
Substituindo na expressão para e^{-x}v,
e^{-x}v=-2x e^{-x}-e^{-x}+C,
onde C é a constante arbitrária (absorvendo C_2). Multiplicando por e^{x} obtemos
v=-2x-1+C e^{x}.

Passo 7

Voltando à variável original: lembrando que definimos v=y^{-3}, temos, para soluções com y\neq0,
y^{-3}=-2x-1+C e^{x}.
Além dessa família obtida pela transformação, é necessário verificar a possibilidade y\equiv0 que foi excluída ao dividir por potências de y. Substituindo y\equiv0 na equação original:
3\cdot 0^{\prime}+0=(1-2x)\cdot 0^{4}\quad\Rightarrow\quad 0=0,
logo y\equiv0 é de fato uma solução (solução singular).

Resposta

y=\bigl(-2x-1+C e^{x}\bigr)^{-1/3}
y\equiv 0

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