Determine a equação do plano que satisfaz as condições.
Passa por (1,2,-2) e contém a reta x=2 t, y=3-t, z=1+3 t
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que satisfaz duas condições simultâneas:
Passa pelo ponto (1,2,-2).
Contém a reta dada por \;x=2t,\;y=3-t,\;z=1+3t\; para todo t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Um ponto do plano: P=(1,2,-2).
A reta tem forma paramétrica com vetor diretor \mathbf{v} que pode ser lido dos coeficientes de t nas componentes: \mathbf{v}=(2,-1,3).
Qualquer ponto da reta é da forma \big(2t,\,3-t,\,1+3t\big). Em particular, ao escolher t=0 obtém-se um ponto da reta que também pertence ao plano: Q=(0,3,1).
O objetivo final é escrever a equação cartesiana do plano (uma equação linear envolvendo x,y,z) que satisfaz esses dados.
Passo 2
Ideia geométrica e estratégia (explicação didática):
Um plano pode ser determinado por um ponto e dois vetores diretores que pertencem ao plano. Se conseguimos dois vetores não paralelos no plano, o produto vetorial (cross product) desses dois vetores dá um vetor normal \mathbf{n} ao plano. A equação do plano com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) que passa por P=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui vamos usar:
um vetor diretor da reta \mathbf{v}=(2,-1,3) (ele está no plano porque a reta está no plano),
e o vetor \mathbf{w}=\overrightarrow{QP} que liga um ponto Q da reta a P; esse vetor também está no plano.
Em seguida calculamos \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w} e usamos a fórmula acima.
Passo 3
Escolhendo um ponto da reta e construindo o segundo vetor diretor do plano:
Peguei o ponto da reta correspondente a t=0: Q=(0,3,1). (Isso veio dos valores da reta quando t=0.)
Portanto temos dois vetores do plano: \mathbf{v}=(2,-1,3) e \mathbf{w}=(1,-1,-3).
Passo 4
Explicando o produto vetorial (didática curta):
O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} gera um vetor perpendicular a ambos \mathbf{v} e \mathbf{w}. Para \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) temos a fórmula