Determine a equação do plano que satisfaz as condições.
Passa por (1,2,-2) e contém a reta x=2 t, y=3-t, z=1+3 t

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que satisfaz duas condições simultâneas:
  • Passa pelo ponto (1,2,-2).
  • Contém a reta dada por \;x=2t,\;y=3-t,\;z=1+3t\; para todo t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Um ponto do plano: P=(1,2,-2).
  • A reta tem forma paramétrica com vetor diretor \mathbf{v} que pode ser lido dos coeficientes de t nas componentes: \mathbf{v}=(2,-1,3).
  • Qualquer ponto da reta é da forma \big(2t,\,3-t,\,1+3t\big). Em particular, ao escolher t=0 obtém-se um ponto da reta que também pertence ao plano: Q=(0,3,1).
O objetivo final é escrever a equação cartesiana do plano (uma equação linear envolvendo x,y,z) que satisfaz esses dados.

Passo 2

Ideia geométrica e estratégia (explicação didática):
Um plano pode ser determinado por um ponto e dois vetores diretores que pertencem ao plano. Se conseguimos dois vetores não paralelos no plano, o produto vetorial (cross product) desses dois vetores dá um vetor normal \mathbf{n} ao plano. A equação do plano com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) que passa por P=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui vamos usar:
  • um vetor diretor da reta \mathbf{v}=(2,-1,3) (ele está no plano porque a reta está no plano),
  • e o vetor \mathbf{w}=\overrightarrow{QP} que liga um ponto Q da reta a P; esse vetor também está no plano.
    Em seguida calculamos \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w} e usamos a fórmula acima.

Passo 3

Escolhendo um ponto da reta e construindo o segundo vetor diretor do plano:
  • Peguei o ponto da reta correspondente a t=0: Q=(0,3,1). (Isso veio dos valores da reta quando t=0.)
  • O vetor que liga Q a P é
\mathbf{w}=\overrightarrow{QP}=P-Q=(1-0,\;2-3,\;-2-1)=(1,-1,-3).
Portanto temos dois vetores do plano: \mathbf{v}=(2,-1,3) e \mathbf{w}=(1,-1,-3).

Passo 4

Explicando o produto vetorial (didática curta):
O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} gera um vetor perpendicular a ambos \mathbf{v} e \mathbf{w}. Para \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) temos a fórmula
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\big(v_2 w_3 - v_3 w_2,\; v_3 w_1 - v_1 w_3,\; v_1 w_2 - v_2 w_1\big).
Esse vetor resultante serve como vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) do plano. Vou calcular passo a passo com os números que temos.

Passo 5

Cálculo do vetor normal:
Usando \mathbf{v}=(2,-1,3) e \mathbf{w}=(1,-1,-3),
\begin{aligned} \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w} &=\big((-1)\cdot(-3)-3\cdot(-1),\;3\cdot1-2\cdot(-3),\;2\cdot(-1)-(-1)\cdot1\big)\\[4pt] &=\big(3-(-3),\;3+6,\;-2-(-1)\big)\\[4pt] &=(6,9,-1). \end{aligned}
Logo um vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(6,9,-1).]

Passo 6

Montando a equação do plano a partir do normal e do ponto P=(1,2,-2):
A equação geral é \mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-P\big)=0. Escrevendo:
6(x-1)+9(y-2)-1\,(z+2)=0.
Agora expandir e simplificar:
6x-6+9y-18-z-2=0
6x+9y-z-26=0.
Esta é a forma cartesiana simplificada do plano. (Opcionalmente pode escrever 6x+9y-z=26 ou isolar z: z=6x+9y-26.)

Passo 7

Verificação rápida (importante em prova):
  • Verificar que o ponto dado P=(1,2,-2) satisfaz a equação:
6\cdot1+9\cdot2-(-2)=6+18+2=26,
logo 6x+9y-z=26 é satisfeita por P.
  • Verificar que qualquer ponto da reta \big(2t,\,3-t,\,1+3t\big) satisfaz:
6(2t)+9(3-t)-(1+3t)=12t+27-9t-1-3t=26,
logo todos os pontos da reta também satisfazem a equação. Isso confirma que a reta está contida no plano.

Resposta

6x+9y-z=26

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