Determine a equação do plano taingente à superfície gráfico de f(x, y)=3 x^{2}+2 x y-y^{2} no ponto Q(1,2, f(1,2)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície gráfica de f no ponto Q(1,2,f(1,2)).
Informações dadas:
f(x,y)=3x^{2}+2xy-y^{2},
o ponto de apoio tem coordenadas (x_{0},y_{0})=(1,2) e a coordenada z do ponto é f(1,2) (ainda precisamos calcular esse valor).
O objetivo final é escrever a equação do plano tangente passando por (1,2,f(1,2)).

Passo 2

O plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é a melhor aproximação linear de f perto desse ponto. A fórmula padrão desse plano é:
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}),
onde:
  • f_{x}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada no ponto (x_{0},y_{0}). Ela mede a taxa de variação de z quando variamos x enquanto mantemos y fixo.
  • f_{y}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (x_{0},y_{0}). Ela mede a taxa de variação de z quando variamos y enquanto mantemos x fixo.
    Esses dois números são as inclinações do plano nas direções dos eixos x e y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. Para derivada parcial em relação a x tratamos y como constante e diferenciamos termo a termo:
f(x,y)=3x^{2}+2xy-y^{2}.
Derivando em relação a x:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(2xy)-\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}).
Agora cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2})=6x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,\quad \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0.
Portanto
f_{x}(x,y)=6x+2y.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. Tratamos x como constante:
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(2xy)-\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}).
Cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Lembrando o sinal negativo do último termo, temos
f_{y}(x,y)=2x-2y.

Passo 5

Avaliamoas as derivadas e a função no ponto (x_{0},y_{0})=(1,2).
Calcule f(1,2):
f(1,2)=3(1)^{2}+2(1)(2)-(2)^{2}=3+4-4=3.
Logo z_{0}=3 e o ponto é (1,2,3).
Calcule f_{x}(1,2):
f_{x}(1,2)=6\cdot 1 + 2\cdot 2 = 6+4=10.
Calcule f_{y}(1,2):
f_{y}(1,2)=2\cdot 1 - 2\cdot 2 = 2-4 = -2.

Passo 6

Substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
z = f(1,2) + f_{x}(1,2)\,(x-1) + f_{y}(1,2)\,(y-2).
Substituindo os valores numéricos:
z = 3 + 10\,(x-1) + (-2)\,(y-2).
Agora simplificamos a expressão:
z = 3 + 10x - 10 - 2y + 4 = 10x - 2y - 3.

Passo 7

Podemos também escrever o mesmo plano na forma padrão (levando tudo para o lado esquerdo):
10x - 2y - z - 3 = 0.

Resposta

z = 10x - 2y - 3

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