Determine a equação do plano taingente à superfície gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície gráfica de
no ponto
.
Informações dadas:
o ponto de apoio tem coordenadas
e a coordenada
do ponto é
(ainda precisamos calcular esse valor).
O objetivo final é escrever a equação do plano tangente passando por
.
Passo 2
O plano tangente à superfície
no ponto
é a melhor aproximação linear de
perto desse ponto. A fórmula padrão desse plano é:
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada no ponto . Ela mede a taxa de variação de quando variamos enquanto mantemos fixo. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a taxa de variação de quando variamos enquanto mantemos fixo.
Esses dois números são as inclinações do plano nas direções dos eixose .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais. Para derivada parcial em relação a
tratamos
como constante e diferenciamos termo a termo:
Derivando em relação a
:
Agora cada termo:
Portanto
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Tratamos
como constante:
Cada termo:
Lembrando o sinal negativo do último termo, temos
Passo 5
Avaliamoas as derivadas e a função no ponto
.
Calcule
:
Logo
e o ponto é
.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 6
Substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores numéricos:
Agora simplificamos a expressão:
Passo 7
Podemos também escrever o mesmo plano na forma padrão (levando tudo para o lado esquerdo):