P6.158 Água a
escoa por um tubo de aço comercial longo e horizontal de 6 cm de diâmetro que contém um venturi clássico de Herschel com uma garganta de 4 cm . O venturi é conectado a um manômetro de mercúrio que indica
. Calcule (
) a vazão em
e
a diferença total de pressão entre pontos 50 cm a montante e 50 cm a jusante do venturi.
Passo 1
O enunciado dá um venturi clássico (Herschel) em um tubo horizontal com: diâmetro do trecho largo
, garganta
. Um manômetro de mercúrio ligado ao venturi indica uma coluna de diferença
. Precisamos calcular:
- (a) a vazão volumétrica em
; - (b) a diferença de pressão total (pressão total = pressão estática + pressão dinâmica) entre dois pontos situados
a montante e a jusante do venturi.
Informações numéricas que usarei (valores típicos):
Observação: vou assumir a ligação padrão do manômetro entre o ponto a montante (seção larga, chamarei de ponto 1) e a garganta (ponto 2). É o arranjo clássico para medir a queda de pressão entre seção larga e garganta.
Passo 2
Entendendo o que o manômetro nos diz (fórmula e física por trás)
Um manômetro em U com mercúrio relaciona a diferença de pressão entre os dois pontos ligados às extremidades com a diferença de alturas das colunas. Para um manômetro com fluido mais denso (mercurio) conectado a dois pontos onde o fluido é água, a relação é:
Explicação curta e intuitiva: a diferença de pressão entre os pontos é compensada pela diferença de peso das colunas do mercúrio menos a contribuição da água nas extremidades; o resultado é a expressão acima.
Agora calculamos numericamente
. Substituindo:
Faço as contas passo a passo:
Passo 3
Conservação de massa (continuidade) — ligação entre velocidades
Para escoamento incompressível a vazão volumétrica
é constante em todas as seções:
onde
. Assim
Logo
Passo 4
Bernoulli entre ponto 1 (montante) e ponto 2 (garganta) — relação pressão-velocidade
Como o venturi e os pontos são horizontais e, para a parte convergente obtemos a leitura do manômetro (arranjo clássico), assumimos que entre 1 e 2 não há perda de carga significativa (hipótese padrão para medir com venturi). Então a equação de Bernoulli (sem perdas) entre 1 e 2 dá:
Rearranjando:
Substituindo
:
Logo
Isolando
:
Agora substituo os valores numéricos:
Faço as contas:
Portanto
Passo 5
Calcular a vazão
e converter para
A área da seção larga:
Vazão:
Converter para
:
Comentário motivador: olha só, já temos a vazão — não é tão impossível quanto parecia 😃 .
Passo 6
Diferença de pressão total entre pontos
a montante e
a jusante
Definição: a pressão total (pressão energética) em um ponto é
Os dois pontos pedidos (montante e jusante) estão em trechos com o mesmo diâmetro
; portanto, para escoamento estacionário e sem acúmulo de massa, as velocidades nesses dois pontos são iguais:
Logo a diferença de pressão total entre montante e jusante é:
Como
, os termos dinâmicos se cancelam e obtemos simplesmente
Se considerarmos o escoamento ideal (hipótese padrão ao aplicar Bernoulli entre pontos externos do venturi quando não se menciona perdas), e se não houver perda de carga ao longo do trecho entre esses pontos (ou seja, o venturi ideal recupera a maior parte da energia), então a pressão total permanece constante ao longo de uma linha de corrente — logo:
Interpretação prática: apesar da pressão estática cair na garganta (o que o manômetro mediu entre 1 e 2), a energia cinética aumenta; depois, ao recuperar a seção larga, a energia cinética volta ao valor anterior e a pressão estática também recupera (num venturi ideal). Portanto, entre dois pontos simétricos em seção larga (50 cm a montante e 50 cm a jusante) a pressão total é a mesma e a diferença é zero.
Observação: se quisermos considerar perdas reais (atrito, separação na difusora), habría uma pequena perda de pressão total positiva
. O enunciado não fornece coeficientes de perda, então a hipótese usual é desprezá-las — por isso a resposta é
.
Resposta
(a)
(b)