P6.158 Água a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa por um tubo de aço comercial longo e horizontal de 6 cm de diâmetro que contém um venturi clássico de Herschel com uma garganta de 4 cm . O venturi é conectado a um manômetro de mercúrio que indica h=40 \mathrm{~cm}. Calcule ( a ) a vazão em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} e (b) a diferença total de pressão entre pontos 50 cm a montante e 50 cm a jusante do venturi.

Passo 1

O enunciado dá um venturi clássico (Herschel) em um tubo horizontal com: diâmetro do trecho largo D_1=6\\ \mathrm{cm}, garganta D_2=4\\ \mathrm{cm}. Um manômetro de mercúrio ligado ao venturi indica uma coluna de diferença h=40\\ \mathrm{cm}. Precisamos calcular:
  • (a) a vazão volumétrica em \mathrm{m}^3/\mathrm{h};
  • (b) a diferença de pressão total (pressão total = pressão estática + pressão dinâmica) entre dois pontos situados 50\\ \mathrm{cm} a montante e 50\\ \mathrm{cm} a jusante do venturi.
Informações numéricas que usarei (valores típicos):
\rho_{\text{água}}=998\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_{\text{Hg}}=13600\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.á
Observação: vou assumir a ligação padrão do manômetro entre o ponto a montante (seção larga, chamarei de ponto 1) e a garganta (ponto 2). É o arranjo clássico para medir a queda de pressão entre seção larga e garganta.

Passo 2

Entendendo o que o manômetro nos diz (fórmula e física por trás)
Um manômetro em U com mercúrio relaciona a diferença de pressão entre os dois pontos ligados às extremidades com a diferença de alturas das colunas. Para um manômetro com fluido mais denso (mercurio) conectado a dois pontos onde o fluido é água, a relação é:
P_1-P_2=(\rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{água}})\,g\,h.á
Explicação curta e intuitiva: a diferença de pressão entre os pontos é compensada pela diferença de peso das colunas do mercúrio menos a contribuição da água nas extremidades; o resultado é a expressão acima.
Agora calculamos numericamente (P_1-P_2). Substituindo:
P_1-P_2=(13600-998)\cdot 9{,}81\cdot 0{,}40\\ \mathrm{Pa}.
Faço as contas passo a passo:
13600-998=12602,
12602\cdot 9{,}81=123625{,}62\\ (\text{aprox.}),
(P_1-P_2)=123625{,}62\cdot 0{,}40=49450{,}25\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Conservação de massa (continuidade) — ligação entre velocidades
Para escoamento incompressível a vazão volumétrica Q é constante em todas as seções:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_i=\dfrac{\pi D_i^2}{4}. Assim
\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2=\left(\frac{0{,}06}{0{,}04}\right)^2=(1{,}5)^2=2{,}25.
Logo
v_2= \frac{A_1}{A_2}\,v_1 = 2{,}25\,v_1.

Passo 4

Bernoulli entre ponto 1 (montante) e ponto 2 (garganta) — relação pressão-velocidade
Como o venturi e os pontos são horizontais e, para a parte convergente obtemos a leitura do manômetro (arranjo clássico), assumimos que entre 1 e 2 não há perda de carga significativa (hipótese padrão para medir com venturi). Então a equação de Bernoulli (sem perdas) entre 1 e 2 dá:
P_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Rearranjando:
P_1-P_2=\tfrac{1}{2}\rho\,(v_2^2-v_1^2).
Substituindo v_2=2{,}25\,v_1:
P_1-P_2=\tfrac{1}{2}\rho\Big((2{,}25\,v_1)^2 - v_1^2\Big) =\tfrac{1}{2}\rho\,(5{,}0625-1)\,v_1^2 =\tfrac{1}{2}\rho\,(4{,}0625)\,v_1^2.
Logo
P_1-P_2 = 2{,}03125\,\rho\,v_1^2.
Isolando v_1:
v_1^2=\frac{P_1-P_2}{2{,}03125\,\rho}.
Agora substituo os valores numéricos:
v_1^2=\frac{49450{,}25}{2{,}03125\cdot 998}
Faço as contas:
2{,}03125\cdot 998 = 2027{,}1875,
v_1^2 \approx \frac{49450{,}25}{2027{,}1875}\approx 24{,}397.
Portanto
v_1 \approx \sqrt{24{,}397}\approx 4{,}94\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a vazão Q e converter para \mathrm{m}^3/\mathrm{h}
A área da seção larga:
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}06)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0009\approx 0{,}0028274\\ \mathrm{m^2}.
Vazão:
Q=A_1 v_1 \approx 0{,}0028274\cdot 4{,}94 \approx 0{,}01397\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{m^3/h}:
Q_{\mathrm{h}}=0{,}01397\cdot 3600 \approx 50{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.
Comentário motivador: olha só, já temos a vazão — não é tão impossível quanto parecia 😃 .

Passo 6

Diferença de pressão total entre pontos 50\\ \mathrm{cm} a montante e 50\\ \mathrm{cm} a jusante
Definição: a pressão total (pressão energética) em um ponto é
p_t = p + \tfrac{1}{2}\rho v^2.
Os dois pontos pedidos (montante e jusante) estão em trechos com o mesmo diâmetro D_1; portanto, para escoamento estacionário e sem acúmulo de massa, as velocidades nesses dois pontos são iguais:
v_{\text{montante}}=v_{\text{jusante}}=v_1.
Logo a diferença de pressão total entre montante e jusante é:
\Delta p_t = (P_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2) - (P_3+\tfrac{1}{2}\rho v_3^2).
Como v_3=v_1, os termos dinâmicos se cancelam e obtemos simplesmente
\Delta p_t = P_1 - P_3.
Se considerarmos o escoamento ideal (hipótese padrão ao aplicar Bernoulli entre pontos externos do venturi quando não se menciona perdas), e se não houver perda de carga ao longo do trecho entre esses pontos (ou seja, o venturi ideal recupera a maior parte da energia), então a pressão total permanece constante ao longo de uma linha de corrente — logo:
\Delta p_t = 0.
Interpretação prática: apesar da pressão estática cair na garganta (o que o manômetro mediu entre 1 e 2), a energia cinética aumenta; depois, ao recuperar a seção larga, a energia cinética volta ao valor anterior e a pressão estática também recupera (num venturi ideal). Portanto, entre dois pontos simétricos em seção larga (50 cm a montante e 50 cm a jusante) a pressão total é a mesma e a diferença é zero.
Observação: se quisermos considerar perdas reais (atrito, separação na difusora), habría uma pequena perda de pressão total positiva P_1-P_3>0. O enunciado não fornece coeficientes de perda, então a hipótese usual é desprezá-las — por isso a resposta é 0.

Resposta

(a) Q\approx 50{,}3\\ \mathrm{m^3/h}
(b) \Delta p_{\text{total}}=0\\ \mathrm{Pa}

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