PD6.1 No escoamento totalmente desenvolvido em um tubo reto, os perfis de velocidade não variam (por quê?), mas a pressão cai ao longo do tubo. Portanto, há trabalho de pressão realizado sobre o fluido. Se, digamos, o tubo for isolado adiabaticamente (não há fluxo de calor), para onde vai essa energia? Faça uma análise termodinâmica do escoamento no tubo.
Passo 1
O enunciado pede uma análise termodinâmica do escoamento totalmente desenvolvido em um tubo reto, isolado adiabaticamente. Em palavras simples: o fluxo está estável e o perfil de velocidade não muda ao longo do eixo (isso é dado), mas a pressão diminui ao longo do tubo. Como não entra nem sai calor do tubo, para onde vai a energia que corresponde à queda de pressão?
Informações relevantes dadas (listei tudo de forma explícita):
Informações relevantes dadas (listei tudo de forma explícita):
- Escoamento totalmente desenvolvido (o perfil de velocidade não varia com a coordenada axial).
- Tubo reto, escoamento estacionário (implícito).
- Há uma queda de pressão ao longo do tubo:
decresce no sentido do escoamento. - Tubo isolado adiabaticamente: não há fluxo de calor através da parede (
). - Não foi mencionado trabalho de eixo (bombas, turbinas), então assumimos
. - Devemos fazer a análise termodinâmica (primeira e segunda leis, energia, entropia) e explicar para onde vai a energia.
Passo 2
Por que o perfil de velocidade não varia axialmente (o que significa “totalmente desenvolvido”)?
Explicação didática e intuitiva, sem pular etapas:
Explicação didática e intuitiva, sem pular etapas:
- “Totalmente desenvolvido” significa que, ao caminhar no sentido do escoamento, o padrão de velocidades transversais (por exemplo, a forma parabólica no caso laminar) não muda: matematicamente
para a componente axial . - Fisicamente: próximo à entrada o fluxo ajusta-se à parede (camada limite cresce); longe da entrada a distribuição de velocidade já equilibrou o efeito do atrito nas paredes com a força impulsionadora (o gradiente de pressão). A distribuição resultante é tal que a viscosidade (cisalhamento radial) equilibra exatamente o gradiente de pressão que empurra o fluido pra frente. Esse equilíbrio não precisa mudar ao longo do eixo — por isso o perfil fica fixo.
- Em termos de equilíbrio de forças (equação simplificada de Navier–Stokes para escoamento axial, estacionário e axisimétrico):
. Como é eixo-único e constante no regime totalmente desenvolvido, a solução não depende de .
Conclusão: perfil constante porque o efeito do gradiente de pressão é continuamente contrabalançado pelo esforço viscoso dentro do perfil — resultando numa forma de velocidade que não muda ao longo do comprimento.
Passo 3
Escolha do controle e escrita da Primeira Lei (balanço de energia) para escoamento estacionário:
- Considere um volume de controle que abrange uma secção do tubo entre
e . Seja a vazão volumétrica e a vazão mássica . - A forma geral da equação de energia para escoamento estacionário em regime permanente (por unidade de tempo) é, em linguagem usual:
onde
é a entalpia específica (
),
velocidade média,
altura.
- Aplicando as hipóteses do problema:
(adiabático) e . Supondo também que não há variação significativa de energia cinética média nem de potencial gravitacional entre duas secções (fluxo totalmente desenvolvido e tubo horizontal, ou variações negligenciáveis), os termos cinético e potencial podem ser desprezados: , . - Resta, portanto, que qualquer trabalho de pressão realizado sobre o controle deve aparecer como variação de entalpia (ou energia interna) e/ou como dissipação irreversível dentro do controle.
Passo 4
Relação prática entre a queda de pressão e o aquecimento por dissipação (razão física e expressão simples):
- Calcule o trabalho realizado pelas forças de pressão por unidade de tempo entre entrada e saída. Para uma pequena queda de pressão
, o trabalho por unidade de tempo (potência) fornecido pelas pressões é
pois a força resultante das pressões é
e a velocidade média é
.
- Em escoamento estacionário adiabático, sem mudança de energia cinética/potencial e sem trabalho de eixo, essa potência fornecida pelas pressões é transformada internamente por atrito viscoso em energia interna do fluido (aquecimento local). Assim, toda a potência
aparece como aumento da energia interna total transportada pelo fluido. Em termos por unidade de massa:
Ou seja, a contribuição específica (por kg) de energia proveniente da queda de pressão é
.
- Se o fluido é aproximadamente incompressível e com capacidade térmica
constante (caso típico de líquidos), o aumento de energia interna se expressa como aquecimento:
Expliquei as variáveis:
,
,
densidade (assumida constante),
capacidade calorífica à pressão constante.
Interpretação física: a queda de pressão fornece trabalho que é dissipado por forças viscosas (cisalhamento) dentro do fluido; essa dissipação aparece como aumento de energia interna (aquecimento) do fluido.
Interpretação física: a queda de pressão fornece trabalho que é dissipado por forças viscosas (cisalhamento) dentro do fluido; essa dissipação aparece como aumento de energia interna (aquecimento) do fluido.
Passo 5
Mecanismo microscopicamente: dissipação viscosa e termo dissipativo na equação de energia
- A dissipação ocorre porque camadas adjacentes do fluido se movem a velocidades diferentes; as tensões viscosas tornam esse movimento relativo em calor. Em termos gerais, a taxa de geração de energia térmica por unidade de volume é
onde
é o tensor de tensões viscosas e
os gradientes de velocidade. Para o caso simples unidimensional de Poiseuille (somente componente axial
), fica
onde
é a viscosidade dinâmica. Integrando
por todo o volume por unidade de tempo dá exatamente
: a potência fornecida pela queda de pressão é dissipada dentro do fluido.
- Conclusão operacional: pressão cai, tensão de cisalhamento realiza trabalho local que é transformado irreversivelmente em calor (energia interna).
Passo 6
Segunda Lei / entropia: por que há aumento de entropia?
- O processo é irreversível (viscosidade produz atrito). Em um tubo adiabático, não há calor trocado com o ambiente, portanto toda a produção irreversível aparece como aumento de entropia do fluido transportado. Para o escoamento estacionário e adiabático:
- Para pequeno aumento de temperatura no caso incompressível,
. Usando obtemos uma estimativa
Assim
pois
(queda de pressão), conforme a Segunda Lei exige. Em palavras: a energia mecânica perdida pela queda de pressão vira calor irreversível, aumentando a entropia.
Passo 7
Comentário prático e numérico (para motivar e deixar claro o efeito):
- No caso de líquidos comuns, a elevação de temperatura é normalmente muito pequena porque
é grande. Exemplo rápido: água com e . Para uma queda de pressão (1 bar),
Ou seja, energia vai para o aquecimento do fluido, mas o aquecimento é pequeno para líquidos. Para gases compressíveis os efeitos de compressibilidade, variação de entalpia e mudanças de densidade alteram a análise quantitativa, embora o mecanismo (dissipação viscosa -> aumento da energia interna / entropia) permaneça.
Passo 8
Resumo físico e operacional — como responder na prova: itens-chave que você deve escrever claramente:
- Declare as hipóteses (adiabático, estacionário, sem trabalho de eixo, totalmente desenvolvido).
- Escreva o balanço de energia estacionário e simplifique descartando variações de KE e PE se aplicável.
- Mostre que a potência fornecida pela queda de pressão é
e que essa potência é dissipada internamente por viscosidade. - Conclua: “A energia vai para a energia interna do fluido (aquecimento) por dissipação viscosa, com produção de entropia.”
- Se quiser dar fórmula final, apresente
para fluido praticamente incompressível.
Resposta
A energia fornecida pela queda de pressão é convertida, via dissipação viscosa, em energia interna do fluido (aquecimento) e em produção de entropia. Para um fluido praticamente incompressível, sem variação de energia cinética/potencial e adiabaticamente isolado, obtém-se aproximadamente
, e a entropia específica aumenta aproximadamente
.