Determine a equação do plano tangente no ponto dado:
f(x, y)=9 x^2+y^2+6 x-3 y+5, P=(1,2);

Passo 1

Temos a função f(x,y)=9x²+y²+6x−3y+5 e queremos a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P=(1,2). Vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente para superfícies definidas por z=f(x,y).

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de z₀ = f(1,2):
f(1,2) = 9cdot1^2 + 2^2 + 6cdot1 - 3cdot2 + 5 = 9 + 4 + 6 - 6 + 5 = 18

Passo 3

Em seguida, determinamos as derivadas parciais de f e avaliamos em (1,2):
fx(x,y) = 18x + 6,
fy(x,y) = 2y - 3
Avaliando em (1,2) obtemos
fx(1,2) = 18cdot1 + 6 = 24,
fy(1,2) = 2cdot2 - 3 = 1

Passo 4

Usamos a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(1,2)(x - 1) + fy(1,2)(y - 2)
Substituindo z₀=18, f_x(1,2)=24 e f_y(1,2)=1, temos
z - 18 = 24(x - 1) + 1(y - 2)

Passo 5

Por fim, expandindo e rearranjando:
z - 18 = 24x - 24 + y - 2
z = 24x + y - 8

Resposta

z = 24x + y - 8

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