Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y, z)=e^x+z-ln y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y,z)=e^{x+z} - \ln y. O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis, usando regras de derivação de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem. Ao derivar em relação a x, tratamos y e z como constantes e usamos que d/dx e{x+z}=e{x+z} e d/dx(-\ln y)=0. Em relação a y, d/dy(-\ln y)=-1/y e d/dy(e^{x+z})=0. Em relação a z, d/dz e{x+z}=e{x+z} e d/dz(-\ln y)=0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de segunda ordem. Para f_xx derivamos f_x=e^{x+z} em x; para f_xy e f_xz derivamos f_x em y e z. Em seguida derivamos f_y = -1/y em x, y, z e f_z = e^{x+z} em x, y, z, usando sempre as regras de derivação padrão.

Resposta

As derivadas parciais são:
De primeira ordem:
fx = e^x+z, fy = -1y, fz = e^x+z.
De segunda ordem:
fxx = e^x+z, fxy = 0, fxz = e^x+z,
fyx = 0, fyy = 1y^2, fyz = 0,
fzx = e^x+z, fzy = 0, fzz = e^x+z.

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