Determine funções h(x) e g(u) tais que f(x)=g(h(x)).
f(x)=(x-1)^2+2(x-1)+3

Passo 1

Neste exercício, temos a função
f(x) = (x-1)^2 + 2(x-1) + 3
O conteúdo aqui é decompor uma função em composição de duas outras, ou seja, encontrar funções h(x) e g(u) tais que f(x)=g(h(x)). Vamos usar a teoria de funções compostas para identificar a parte interna e externa de f.

Passo 2

Para identificar a parte interna de f(x), repare que a expressão (x-1) aparece em todos os termos. Faz sentido introduzir uma nova função que capture exatamente esse trecho. Definimos
h(x) = x - 1
Assim, ao calcular h(x) obtemos o valor que aparece “dentro” de f.

Passo 3

Chamando u = h(x), substituímos em f(x) para ver sua forma em função de u:
f(x) = (x-1)^2 + 2(x-1) + 3 = u^2 + 2u + 3
Isso mostra diretamente qual deve ser a função externa.

Passo 4

Com base na expressão em u, definimos a função externa:
g(u) = u^2 + 2u + 3
Para conferir, basta compor:
g(h(x)) = g(x-1) = (x-1)^2 + 2(x-1) + 3 = f(x)

Resposta

h(x) = x - 1 e g(u) = u^2 + 2u + 3

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