Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superficie de equação dada no ponto dado:
(b) f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} em (-1,2, f(-1,2)).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (dados que vou usar):
  • A superfície é dada por f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto pedido é (-1,2,f(-1,2)). Vou calcular f(-1,2).
  • O objetivo é:
    1. Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado.
    2. Determinar a equação da reta normal à superfície passando por esse mesmo ponto.

Passo 2

Lembrete teórico (fórmula que vou aplicar) — por que o plano tangente tem essa forma:
  • Se z=f(x,y) é diferenciável em (x_0,y_0), a aproximação linear (plano tangente) em torno do ponto é
z \approx f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
  • Essa fórmula vem da expansão linear (primeiro termo de Taylor) em duas variáveis; f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, avaliadas no ponto.
  • A reta normal pode ser obtida usando o vetor normal ao plano tangente. Um vetor normal ao plano tangente é
\mathbf{n}=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1),
pois esse vetor é ortogonal a todos os vetores tangentes do tipo (1,0,f_x) e (0,1,f_y). A reta normal passa por (x_0,y_0,z_0) na direção \mathbf{n}.

Passo 3

Calcular o valor de z_0=f(-1,2):
f(-1,2)=\sqrt{9-(-1)^{2}-2^{2}}=\sqrt{9-1-4}=\sqrt{4}=2.
Portanto o ponto é (-1,\,2,\,2).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais gerais de f. Escrevendo f(x,y)=(9-x^{2}-y^{2})^{1/2}, aplico a regra da cadeia:
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(9-x^{2}-y^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}},
f_y(x,y)=\frac{1}{2}(9-x^{2}-y^{2})^{-1/2}\cdot(-2y)=-\frac{y}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}.
Expliquei passo a passo: a derivada de u^{1/2} é \tfrac{1}{2}u^{-1/2} e multiplica-se pela derivada interna \frac{\partial}{\partial x}(9-x^2-y^2)=-2x, análogo para y.

Passo 5

Avaliar as parciais no ponto (-1,2). Primeiro já vimos que \sqrt{9-(-1)^{2}-2^{2}}=2. Então
f_x(-1,2)=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}, \qquad f_y(-1,2)=-\frac{2}{2}=-1.
Mostrei: pluguei x=-1 e y=2 nas fórmulas das parciais.

Passo 6

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da aproximação linear com (x_0,y_0,z_0)=(-1,2,2):
z-2 = f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2).
Substituindo os valores:
z-2 = \frac{1}{2}(x+1) -1\cdot(y-2).
Posso simplificar para uma forma explícita em z:
z = 2 + \frac{1}{2}(x+1) - (y-2).
Fazendo a álgebra:
z = \frac{1}{2}x - y + \frac{9}{2}.
(Se preferir forma implícita, multiplicando por 2 obtemos x-2y-2z+9=0; ambas representam o mesmo plano.)

Passo 7

Encontrar a reta normal. O vetor normal é
\mathbf{n}=(-f_x(-1,2),\,-f_y(-1,2),\,1)=\Big(-\tfrac{1}{2},\,1,\,1\Big).
A equação paramétrica da reta normal passando por (-1,2,2)\) com parâmetro \(t\in\mathbb{R}\) é \[\begin{cases} x(t) = -1 - \tfrac{1}{2}t,\\[4pt] y(t) = 2 + t,\\[4pt] z(t) = 2 + t. \end{cases}
Expliquei: cada coordenada é a coordenada do ponto mais (t] vezes a componente correspondente do vetor direção.]

Resposta

Plano tangente: z=\tfrac{1}{2}x - y + \tfrac{9}{2}
Reta normal (paramétrica): x=-1-\tfrac{1}{2}t,\;y=2+t,\;z=2+t,\;t\in\mathbb{R}

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