Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superficie de equação dada no ponto dado:
(b)
em
.
(b)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (dados que vou usar):
- A superfície é dada por
. - O ponto pedido é
. Vou calcular . - O objetivo é:
- Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado.
- Determinar a equação da reta normal à superfície passando por esse mesmo ponto.
Passo 2
Lembrete teórico (fórmula que vou aplicar) — por que o plano tangente tem essa forma:
- Se
é diferenciável em , a aproximação linear (plano tangente) em torno do ponto é
- Essa fórmula vem da expansão linear (primeiro termo de Taylor) em duas variáveis;
e são as derivadas parciais de em relação a e , avaliadas no ponto. - A reta normal pode ser obtida usando o vetor normal ao plano tangente. Um vetor normal ao plano tangente é
pois esse vetor é ortogonal a todos os vetores tangentes do tipo
e
. A reta normal passa por
na direção
.
Passo 3
Calcular o valor de
:
Portanto o ponto é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais gerais de
. Escrevendo
, aplico a regra da cadeia:
Expliquei passo a passo: a derivada de
é
e multiplica-se pela derivada interna
, análogo para
.
Passo 5
Avaliar as parciais no ponto
. Primeiro já vimos que
. Então
Mostrei: pluguei
e
nas fórmulas das parciais.
Passo 6
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da aproximação linear com
:
Substituindo os valores:
Posso simplificar para uma forma explícita em
:
Fazendo a álgebra:
(Se preferir forma implícita, multiplicando por 2 obtemos
; ambas representam o mesmo plano.)
Passo 7
Encontrar a reta normal. O vetor normal é
A equação paramétrica da reta normal passando por
Expliquei: cada coordenada é a coordenada do ponto mais (t] vezes a componente correspondente do vetor direção.]
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):