Dê um exemplo de uma função que seja derivável em um intervalo [a, b], mas cuja derivada não seja contínua em um ponto de (a, b).
Passo 1
O que o enunciado pede:
Dar um exemplo explícito de uma função que seja derivável no intervalo [a,b] e que, mesmo assim, sua derivada não seja contínua em algum ponto de (a,b).
Informações relevantes que vou usar:
Preciso fornecer a definição explícita da função (em forma por partes se for o caso).
Preciso mostrar que a função é derivável em todo [a,b] (incluindo o ponto interior onde a continuidade da derivada falha).
Preciso mostrar que a derivada não é contínua em pelo menos um ponto de (a,b).
Passo 2
Vou propor a função clássica que serve exatamente para esse propósito. Defina a=-1\) e \(b=1\) e considere
\[f(x)= \begin{cases} x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\[6pt] 0, & x=0. \end{cases}
Aqui a ideia é que o fator x^{2}\] faz com que \(f tenda bem a 0 e seja diferenciável em 0, enquanto a parte oscilante \sin(1/x) faz a derivada oscilar perto de 0, impedindo continuidade da derivada em 0.]
Passo 3
Mostrando que f é diferenciável para x\neq 0.
Para x\neq 0 a função é dada por uma expressão composta de funções elementares (polinômio e seno de função racional), portanto é diferenciável por regras usuais.
Calcule a derivada para x\neq 0 usando a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevo a derivada explícita:
Para verificar continuidade em 0 precisamos ver se \lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=0.
Observe que a parcela 2x\sin(1/x) tende a 0 quando x\to 0. Porém a parcela -\cos(1/x) oscila entre -1 e 1 sem limite quando x\to 0.
Para ver concretamente a falta de limite, escolha duas sequências que tendem a 0:
Tome x_{n}=\dfrac{1}{2n\pi}. Então \dfrac{1}{x_{n}}=2n\pi e \cos\!\left(\dfrac{1}{x_{n}}\right)=\cos(2n\pi)=1. Além disso \sin\!\left(\dfrac{1}{x_{n}}\right)=0. Logo
Tome y_{n}=\dfrac{1}{(2n+1)\pi}. Então \dfrac{1}{y_{n}}=(2n+1)\pi e \cos\!\left(\dfrac{1}{y_{n}}\right)=\cos((2n+1)\pi)=-1. Além disso \sin\!\left(\dfrac{1}{y_{n}}\right)=0. Logo
Como existem duas sequências convergindo para 0 que produzem dois limites diferentes para f'(x) (um tende a -1 e outro a 1), o limite \lim_{x\to 0}f'(x) não existe. Portanto f' não é contínua em 0.
Passo 7
Conclusão final: a função definida no Passo 2 é derivável em todo [-1,1], mas sua derivada falha em ser contínua no ponto interior 0. Essa é a construção pedida; ela é um exemplo bem conhecido e simples de função com derivada descontínua em um ponto interior.