A interpretação das questões é parte do processo de avaliação, não sendo permitidas consultas ou comunicą̧ão entre alunos.
Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superficie de equação dada no ponto dado:
(a) f(x, y)=x \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{em}(3,-4, f(3,-4));
(b) f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} em (-1,2, f(-1,2)).
Suponha que f seja uma função diferenciável tal que w=f(x, y, z). Seja x=r \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, y=r \operatorname{sen} \varphi \cos \theta e z=r \cos \varphi, \operatorname{com} r>0. Calcule \frac{\partial w}{\partial r}, \frac{\partial w}{\partial \varphi} e \frac{\partial w}{\partial \theta} em função de \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial z}.
Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y) no ponto dado. Além disso, calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} em termos de x, y, z :
(c) z+2 \cos (x+y+z)=2 \mathrm{em}(0,0,0);
(d) x^{2} y^{2} z^{2}=1 \mathrm{em}(0,0,1).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá (não vou resolver nada ainda).
(a) Estão dadas f(x,y)=x\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o ponto (3,-4,f(3,-4)). Pede-se a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) nesse ponto e a equação da reta normal à superfície nesse ponto.
(b) Estão dadas f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} e o ponto (-1,2,f(-1,2)). Pede-se a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) nesse ponto e a equação da reta normal à superfície nesse ponto.
(parte seguinte) Suponha w=f(x,y,z) diferenciável e as transformaçõesx=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad y=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad z=r\cos\varphi,\qquad r>0.Pede-se \dfrac{\partial w}{\partial r}, \dfrac{\partial w}{\partial\varphi} e \dfrac{\partial w}{\partial\theta} em termos de \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y}, \dfrac{\partial w}{\partial z}.
(c) A equação z+2\cos(x+y+z)=2 no ponto (0,0,0). Pede-se mostrar que define localmente uma função diferenciável z=z(x,y) em (0,0) e calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z.
(d) A equação x^{2}y^{2}z^{2}=1 no ponto (0,0,1). Pede-se mostrar existência local de z=z(x,y) e calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z.
Informações numéricas que usarei: coordenadas e fórmulas acima. A partir daqui começo as resoluções passo a passo.
Passo 2
(a) Resolver para f(x,y)=x\sqrt{x^{2}+y^{2}} no ponto (3,-4,f(3,-4)).
Valor da função no ponto. Calcular \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Portanto
f(3,-4)=3\cdot 5=15.
Derivadas parciais gerais. Vou explicar cada passo com calma.
Primeiro, regra do produto: se f(x,y)=x\cdot g(x,y) então \dfrac{\partial f}{\partial x}=1\cdot g(x,y)+x\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Aqui g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. A derivada de g em relação a x é, pela regra da cadeia,
Se desejar, pode-se simplificar, mas essa forma é clara e pronta para uso.
Reta normal. Para a superfície z=f(x,y), um vetor normal ao plano tangente é \mathbf{n}=(-f_x(a,b),-f_y(a,b),1). A reta normal que passa por (a,b,f(a,b)) tem representação paramétrica (parâmetro t):
Regra da cadeia para coordenadas esféricas dadas: calcular \dfrac{\partial w}{\partial r}, \dfrac{\partial w}{\partial\varphi}, \dfrac{\partial w}{\partial\theta} em termos de \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y}, \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Ideia (explicação didática). A regra da cadeia diz que, se w=f(x,y,z) e x,x(r,\varphi,\theta) etc., então a variação de w ao variar r mantendo \varphi,\theta fixos é a soma das contribuições das variações de x,y,z:
Essas são as expressões pedidas, e cada termo tem interpretação: por exemplo em \dfrac{\partial w}{\partial r} cada parcela é a sensibilidade de w à variação de x,y,z multiplicada pela variação desses em relação a r.]
Passo 5
(c) Equação z+2\cos(x+y+z)=2 no ponto (0,0,0). Mostrar existência local de z=z(x,y) e calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z.
Definir a função implícita. Considere
F(x,y,z)=z+2\cos(x+y+z)-2.
Queremos aplicar o Teorema da Função Implícita: se F(a,b,c)=0 e F_z(a,b,c)\neq 0, então existe uma função diferenciável z=z(x,y) perto de (a,b) com z(a,b)=c.
Verificar as hipóteses no ponto (0,0,0). Primeiro
F(0,0,0)=0+2\cos(0)-2=2\cdot 1 -2=0,
portanto o ponto pertence à superfície definida por F=0.
No ponto (0,0,0) temos \sin(0)=0 e assim F_z(0,0,0)=1\neq 0. Logo as hipóteses do Teorema da Função Implícita são satisfeitas: existe localmente uma função diferenciável z=z(x,y) com z(0,0)=0.
Fórmulas para as derivadas parciais. Pela teoria, para F(x,y,z(x,y))\equiv 0,
Se quiser o valor no ponto (0,0,0), onde \sin(0)=0, ambos são 0.
Passo 6
(d) Equação x^{2}y^{2}z^{2}=1 no ponto (0,0,1). Verificar possibilidade de aplicar o Teorema da Função Implícita e, se possível, calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Verificação essencial: para aplicar o Teorema da Função Implícita é preciso que o ponto dado satisfaça a equação F(x,y,z)=0, com F(x,y,z)=x^{2}y^{2}z^{2}-1. Avaliando no ponto dado:
Isso significa que (0,0,1) não pertence à superfície definida por x^{2}y^{2}z^{2}=1. Portanto não é possível afirmar que ali a equação define uma função z=z(x,y) nem aplicar o Teorema da Função Implícita naquele ponto — simplesmente porque o ponto não está na curva/ superfície de nível considerada.
Comentário útil (sem inventar dados): Se o problema tivesse um ponto que realmente satisfizesse a equação (por exemplo (1,1,1) satisfaz 1\cdot1\cdot1=1), então poderíamos proceder definindo F(x,y,z)=x^{2}y^{2}z^{2}-1, verificando F_z=2x^{2}y^{2}z no ponto e usando \dfrac{\partial z}{\partial x}=-F_x/F_z, \dfrac{\partial z}{\partial y}=-F_y/F_z. Mas isso é apenas um comentário: para o ponto informado (0,0,1) não há como mostrar existência local porque a igualdade não é satisfeita.
Resposta
(a) Plano tangente: z=15+\dfrac{34}{5}(x-3)-\dfrac{12}{5}(y+4).\nReta normal (paramétrica): x=3-\dfrac{34}{5}t,\;y=-4+\dfrac{12}{5}t,\;z=15+t.
(b) Plano tangente: z=2+\tfrac{1}{2}(x+1)-1\cdot(y-2).\nReta normal (paramétrica): x=-1-\tfrac{1}{2}t,\;y=2+t,\;z=2+t.
(c) Existe função diferenciável z=z(x,y) perto de (0,0). Em termos de x,y,z: \displaystyle \dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2\sin(x+y+z)}{\,1-2\sin(x+y+z)\,},\qquad
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2\sin(x+y+z)}{\,1-2\sin(x+y+z)\,}.
(d) Não é possível: o ponto (0,0,1) não satisfaz x^{2}y^{2}z^{2}=1 (pois 0\cdot0\cdot1\neq 1), logo não se pode aplicar o Teorema da Função Implícita nem afirmar que ali a equação define uma função z=z(x,y).