Obtenha a energia dos seguintes sinais
  • x(t)=4 \operatorname{sinc}\left(\frac{t}{5 \pi}\right)
  • x(t)=2 \operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{3 t}{\pi}\right)
Resp.: 8 \pi / 9,80 \pi

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a energia de dois sinais contínuos, ou seja, calcular
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt
para cada um dos sinais abaixo:
x_1(t)=4\,\operatorname{s{sinc}}\!\left(\frac{t}{5\pi}\right), \qquad x_2(t)=2\,\operatorname{s{sinc}}^{2}\!\left(\frac{3t}{\pi}\right).
Informações dadas: as expressões dos dois sinais acima. Vou assumir a convenção padrão de sinais/teoria de sinais normalmente usada em cursos de graduação para esta notação:
\operatorname{s{sinc}}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x},
porque essa definição é a mais comum em sinais e é consistente com os resultados que aparecem em problemas similares.

Passo 2

Conceito importante (a ferramenta básica que usamos): a energia de um sinal real x(t) é
E=\int_{-\infty}^{\infty} x^2(t)\,dt.
Também vamos usar duas propriedades úteis de escala (mudança de variável) e algumas integrais padrão:
  1. Se \;y(t)=x(a t)\; com a\neq0, então \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} y^2(t)\,dt=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} x^2(u)\,du (fazendo u=a t).
  2. Integral padrão para a sinc normalizada:
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{s{sinc}}^{2}(u)\,du=1.
  1. Outra integral padrão (mais avançada, mas usada aqui) é
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{4}\,du=\frac{2\pi}{3}.
Vou usar (3) com explicação curta de por que ela é válida: essa integral é clássica e pode ser obtida aplicando a transformada de Fourier (a transformada de \sin u /u é uma função retangular; ao elevar ao quadrado no tempo obtemos uma convolução de retângulos no domínio da frequência que resulta numa função triangular; aplicando Parseval e integrando o quadrado dessa função triangular chega-se ao valor \tfrac{2\pi}{3}). Não preciso desenvolver toda a transformada aqui, apenas uso o resultado padrão com essa justificativa.
Com isso, resolvemos cada sinal.

Passo 3

Cálculo da energia de \;x_1(t)=4\,\operatorname{s{sinc}}\!\left(\dfrac{t}{5\pi}\right).
Primeiro reescrevo a energia:
E_1=\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(4\,\operatorname{s{sinc}}\!(t/(5\pi))\bigr)^{2}\,dt =16\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{s{sinc}}^{2}\!\left(\frac{t}{5\pi}\right)\,dt.
Faço a mudança de variável natural para tirar o argumento da sinc: seja \;u=\dfrac{t}{5\pi}. Então \;dt=5\pi\,du. Substituindo:
E_1=16\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{s{sinc}}^{2}(u)\,(5\pi)\,du =16\cdot 5\pi\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{s{sinc}}^{2}(u)\,du.
Pelo item 2 do passo anterior sabemos que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{s{sinc}}^{2}(u)\,du=1. Portanto
E_1=16\cdot 5\pi \cdot 1 = 80\pi.

Passo 4

Cálculo da energia de \;x_2(t)=2\,\operatorname{s{sinc}}^{2}\!\left(\dfrac{3t}{\pi}\right).
Primeiro observe a forma do argumento da sinc com a nossa convenção:
\operatorname{s{sinc}}\!\left(\frac{3t}{\pi}\right) =\frac{\sin\!\big(\pi\cdot\frac{3t}{\pi}\big)}{\pi\cdot\frac{3t}{\pi}} =\frac{\sin(3t)}{3t}.
Logo
x_2(t)=2\left(\frac{\sin(3t)}{3t}\right)^{2}.
A energia é
E_2=\int_{-\infty}^{\infty} \biggl[2\left(\frac{\sin(3t)}{3t}\right)^{2}\biggr]^{2}\,dt =4\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin(3t)}{3t}\right)^{4}\,dt.
Extraio constantes para ficar com a forma usada na integral padrão. Note que
\left(\frac{\sin(3t)}{3t}\right)^{4}=\frac{1}{3^{4}}\left(\frac{\sin(3t)}{t}\right)^{4}.
Portanto
E_2=4\cdot\frac{1}{3^{4}}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin(3t)}{t}\right)^{4}\,dt =\frac{4}{81}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin(3t)}{t}\right)^{4}\,dt.
Agora aplico a mudança de variável apropriada para usar a integral padrão (veja o item 3 do Passo 2): seja u=3t, então dt=du/3. Então
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin(3t)}{t}\right)^{4}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin u}{u/3}\right)^{4}\frac{du}{3} =3^{4}\cdot\frac{1}{3}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{4}\,du =3^{3}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{4}\,du.
Usando o resultado padrão \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{4}\,du=\frac{2\pi}{3}, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin(3t)}{t}\right)^{4}\,dt =3^{3}\cdot\frac{2\pi}{3}=27\cdot\frac{2\pi}{3}=18\pi.
Substituindo em E_2:
E_2=\frac{4}{81}\cdot 18\pi=\frac{72\pi}{81}=\frac{8\pi}{9}.

Resposta

E\bigl\{4\,\operatorname{s{sinc}}(t/(5\pi))\bigr\}=80\pi
E\bigl\{2\,\operatorname{s{sinc}}^{2}(3t/\pi)\bigr\}=\dfrac{8\pi}{9}

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