Obtenha a energia dos seguintes sinais
-
-
Resp.:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a energia de dois sinais contínuos, ou seja, calcular
para cada um dos sinais abaixo:
Informações dadas: as expressões dos dois sinais acima. Vou assumir a convenção padrão de sinais/teoria de sinais normalmente usada em cursos de graduação para esta notação:
porque essa definição é a mais comum em sinais e é consistente com os resultados que aparecem em problemas similares.
Passo 2
Conceito importante (a ferramenta básica que usamos): a energia de um sinal real
é
Também vamos usar duas propriedades úteis de escala (mudança de variável) e algumas integrais padrão:
- Se
com , então (fazendo ). - Integral padrão para a sinc normalizada:
- Outra integral padrão (mais avançada, mas usada aqui) é
Vou usar (3) com explicação curta de por que ela é válida: essa integral é clássica e pode ser obtida aplicando a transformada de Fourier (a transformada de
é uma função retangular; ao elevar ao quadrado no tempo obtemos uma convolução de retângulos no domínio da frequência que resulta numa função triangular; aplicando Parseval e integrando o quadrado dessa função triangular chega-se ao valor
). Não preciso desenvolver toda a transformada aqui, apenas uso o resultado padrão com essa justificativa.
Com isso, resolvemos cada sinal.
Passo 3
Cálculo da energia de
.
Primeiro reescrevo a energia:
Faço a mudança de variável natural para tirar o argumento da sinc: seja
. Então
. Substituindo:
Pelo item 2 do passo anterior sabemos que
. Portanto
Passo 4
Cálculo da energia de
.
Primeiro observe a forma do argumento da sinc com a nossa convenção:
Logo
A energia é
Extraio constantes para ficar com a forma usada na integral padrão. Note que
Portanto
Agora aplico a mudança de variável apropriada para usar a integral padrão (veja o item 3 do Passo 2): seja
, então
. Então
Usando o resultado padrão
, obtemos
Substituindo em
: