Determine uma equação do plano tangente à superfície indicada no ponto especificado.
z=3 y^{2}-2 x^{2}+x, ponto (2,-1,-3).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=3y^{2}-2x^{2}+x e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (2,-1,-3).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: } z = f(x,y)=3y^{2}-2x^{2}+xçã
\text{Ponto dado: } (x_{0},y_{0},z_{0})=(2,-1,-3).

Passo 2

Para uma superfície dada por z=f(x,y), a equação do plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é a linearização de f em torno desse ponto. A fórmula é:
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Explicando os termos:
  • f_{x}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada em (x_{0},y_{0}). Ela mede a inclinação da superfície na direção do eixo x (segurando y constante).
  • f_{y}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a y, avaliada em (x_{0},y_{0}). Ela mede a inclinação da superfície na direção do eixo y (segurando x constante).
    Essa fórmula dá o melhor plano linear que aproxima a superfície perto do ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=3y^{2}-2x^{2}+x.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_{x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}-2x^{2}+x\bigr) = -4x + 1.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}-2x^{2}+x\bigr) = 6y.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto (x_{0},y_{0})=(2,-1).
f_{x}(2,-1) = -4\cdot 2 + 1 = -8 + 1 = -7.
f_{y}(2,-1) = 6\cdot(-1) = -6.
Também verificamos que o ponto realmente está na superfície calculando f(2,-1):
f(2,-1) = 3\cdot(-1)^{2} - 2\cdot 2^{2} + 2 = 3 - 8 + 2 = -3,
que coincide com z_{0}=-3. Boa — o ponto pertence à superfície.

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula do plano tangente. Com x_{0}=2, y_{0}=-1, f(x_{0},y_{0})=-3, f_{x}(2,-1)=-7 e f_{y}(2,-1)=-6, temos
z = -3 + (-7)\,(x-2) + (-6)\,(y - (-1)).
Observando que y-(-1)=y+1, reescrevemos:
z = -3 -7(x-2) -6(y+1).

Passo 6

Expandindo para obter uma forma mais simples:
-7(x-2) = -7x + 14,
-6(y+1) = -6y -6.
Logo
z = -3 + (-7x + 14) + (-6y -6).
Somando os termos constantes:
-3 + 14 -6 = 5.
Portanto
z = -7x -6y + 5.
Uma forma equivalente (forma geral do plano) é
7x + 6y + z - 5 = 0.

Resposta

z = -7x -6y +5

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