Determine uma equação do plano tangente à superfície indicada no ponto especificado.
, ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Para uma superfície dada por
, a equação do plano tangente no ponto
é a linearização de
em torno desse ponto. A fórmula é:
Explicando os termos:
-
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Ela mede a inclinação da superfície na direção do eixo (segurando constante). -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Ela mede a inclinação da superfície na direção do eixo (segurando constante).
Essa fórmula dá o melhor plano linear que aproxima a superfície perto do ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto
.
Também verificamos que o ponto realmente está na superfície calculando
:
que coincide com
. Boa — o ponto pertence à superfície.
Passo 5
Substituímos tudo na fórmula do plano tangente. Com
,
,
,
e
, temos
Observando que
, reescrevemos:
Passo 6
Expandindo para obter uma forma mais simples:
Logo
Somando os termos constantes:
Portanto
Uma forma equivalente (forma geral do plano) é