Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
está escrita só em termos de : isto é, depende de e não aparece explicitamente. - As derivadas pedidas são derivadas parciais, portanto cada derivada parcial é feita mantendo a outra variável fixa.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma didática, o que é derivada parcial com respeito a uma variável. Para uma função
, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação de
quando
muda e
fica fixo. Em definição de limite:
O mesmo raciocínio vale para
: manter
fixo e ver como
varia quando
muda.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: como
foi dada por
, ela não depende de
. Isso significa que, para qualquer
,
Substituindo na definição da derivada parcial em relação a
,
Intuitivamente: se
não muda quando eu mexo em
, a derivada parcial em
é zero.
Passo 4
Agora a segunda derivada parcial em relação a
é a derivada parcial da quantidade que acabamos de obter. Como
(uma função constante em
e
),
Ou seja, a segunda derivada em
também é zero.
Passo 5
Passando para
: aqui
depende efetivamente de
. Para derivadas parciais em
tratamos
como constante, mas como
não envolve
isso é exatamente a derivada usual de função de uma variável
. Sabemos da trigonometria básica que a derivada de
em relação a
é
. Assim,
Se quiser ver pela definição de limite, é a mesma ideia da derivada comum.
Passo 6
Finalmente, a segunda derivada parcial em relação a
é a derivada de
em relação a
. A derivada de
é
. Portanto
Observação útil: como
, temos
. É um truque recorrente: a segunda derivada de seno volta ao negativo do seno.