Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
u=\operatorname{sen} \theta ; \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} e \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função u=\operatorname{sen}\theta e pede duas coisas:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função u está escrita só em termos de \theta: isto é, u depende de \theta e não aparece r explicitamente.
  • As derivadas pedidas são derivadas parciais, portanto cada derivada parcial é feita mantendo a outra variável fixa.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma didática, o que é derivada parcial com respeito a uma variável. Para uma função u(r,\theta), a derivada parcial em relação a r é a taxa de variação de u quando r muda e \theta fica fixo. Em definição de limite:
\frac{\partial u}{\partial r}(r,\theta)=\lim_{h\to 0}\frac{u(r+h,\theta)-u(r,\theta)}{h}.
O mesmo raciocínio vale para \theta: manter r fixo e ver como u varia quando \theta muda.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: como u foi dada por u=\operatorname{sen}\theta, ela não depende de r. Isso significa que, para qualquer r,
u(r+h,\theta)=\operatorname{sen}\theta=u(r,\theta).
Substituindo na definição da derivada parcial em relação a r,
\frac{\partial u}{\partial r}(r,\theta)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}\theta-\operatorname{sen}\theta}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0.
Intuitivamente: se u não muda quando eu mexo em r, a derivada parcial em r é zero.

Passo 4

Agora a segunda derivada parcial em relação a r é a derivada parcial da quantidade que acabamos de obter. Como \frac{\partial u}{\partial r}=0 (uma função constante em r e \theta),
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}=\frac{\partial}{\partial r}\left(0\right)=0.
Ou seja, a segunda derivada em r também é zero.

Passo 5

Passando para \theta: aqui u depende efetivamente de \theta. Para derivadas parciais em \theta tratamos r como constante, mas como u não envolve r isso é exatamente a derivada usual de função de uma variável \theta. Sabemos da trigonometria básica que a derivada de \operatorname{sen}\theta em relação a \theta é \cos\theta. Assim,
\frac{\partial u}{\partial \theta}(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}\theta\big)=\cos\theta.
Se quiser ver pela definição de limite, é a mesma ideia da derivada comum.

Passo 6

Finalmente, a segunda derivada parcial em relação a \theta é a derivada de \cos\theta em relação a \theta. A derivada de \cos\theta é -\operatorname{sen}\theta. Portanto
\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(\cos\theta\big)=-\operatorname{sen}\theta.
Observação útil: como u=\operatorname{sen}\theta, temos \displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=-\operatorname{sen}\theta=-u. É um truque recorrente: a segunda derivada de seno volta ao negativo do seno.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}=0
\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}=-\operatorname{sen}\theta

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