Mostre que a relação \leq é uma relação de ordem em \mathbb{N}.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a relação \le em \mathbb{N} é uma relação de ordem.
Informações que temos (convenções e definição que vou usar):
  • Vou trabalhar com a ordem usual em \mathbb{N} (aquela que herdamos dos inteiros).
  • Para evitar ambiguidade sobre se 0\in\mathbb{N}, vou usar a descrição equivalente e muito prática: dizer que a\le b significa que existe um número inteiro não negativo k tal que a+k=b. Escrevo isso assim:
a\le b \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,k\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\text{ tal que }a+k=b.
  • O que é preciso provar para que \le seja uma relação de ordem (definição): mostrar que \le é reflexiva, antissimétrica e transitiva. (Depois eu mostro também que, além de ordem parcial, é de fato uma ordem total/linear em \mathbb{N}.)

Passo 2

Provar reflexividade. Primeiro explico o conceito: uma relação R em um conjunto X é reflexiva se, para todo x\in X, valem (x,x)\in R ou, em notação de desigualdade, xRx. No nosso caso isso significa verificar que, para todo a\in\mathbb{N}, vale a\le a.
Prova concreta: tome qualquer a\in\mathbb{N}. Escolha k=0. Observa-se que k\in\mathbb{Z}_{\ge 0} e
a+0=a,
logo, pela definição que usamos, existe k (especificamente k=0) tal que a+k=a. Portanto a\le a. Conclusão: \le é reflexiva em \mathbb{N}.
Comentário prático: o número 0 é o “testemunho” que garante a reflexividade — sempre podemos somar zero e obter o mesmo número.

Passo 3

Provar antissimetria. Conceito: uma relação R é antissimétrica se, sempre que aRb e bRa, então a=b. Para \le precisamos mostrar: se a\le b e b\le a então a=b.
Prova concreta: suponha a,b\in\mathbb{N} com a\le b e b\le a. Pelas definições, existem m,n\in\mathbb{Z}_{\ge 0} tais que
a+m=b \quad\text{e}\quad b+n=a.
Substituindo a primeira na segunda:
(a+m)+n=a.
Reagrupando:
a+m+n=a \quad\Longrightarrow\quad m+n=0.
Agora, em \mathbb{Z}_{\ge 0} a soma de dois números não negativos só pode ser zero se ambos forem zero. Logo m=0 e n=0. Com m=0 da primeira equação obtemos a=b. Portanto \le é antissimétrica.
Explicação didática: a ideia é que, se você pode ir de a a b somando algo não negativo e também voltar de b a a somando algo não negativo, essas “somas extras” têm de ser nulas — logo os dois são o mesmo número.

Passo 4

Provar transitividade. Conceito: R é transitiva se, sempre que aRb e bRc, então aRc. Para \le precisamos: se a\le b e b\le c então a\le c.
Prova concreta: suponha a,b,c\in\mathbb{N} com a\le b e b\le c. Então existem m,n\in\mathbb{Z}_{\ge 0} tais que
a+m=b \quad\text{e}\quad b+n=c.
Substituindo a primeira na segunda obtemos
c = b+n = (a+m)+n = a+(m+n).
Como m+n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}, pela definição isso mostra que a\le c. Portanto \le é transitiva.
Pequena dica prática: ao compor duas desigualdades do tipo a+m=b e b+n=c basta somar os “excedentes” m e n para obter o excedente total de a até c.

Passo 5

Conclusão parcial: como já demonstramos reflexividade, antissimetria e transitividade, segue que \le é uma relação de ordem (isto é, uma ordem parcial) em \mathbb{N}.

Passo 6

Mostrar que a ordem é, na verdade, total (linear). Definição: uma ordem é total se, para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, vale a\le b ou b\le a. Vou provar isso rapidamente porque é uma propriedade útil para provas na prática.
Prova prática: tome a,b\in\mathbb{N}. Considere a diferença b-a vista como número inteiro. Há duas possibilidades: ou b-a\ge 0 ou b-a<0. Se b-a\ge 0 então b-a\in\mathbb{Z}_{\ge 0} e a+(b-a)=b, logo a\le b. Se b-a<0 então a-b>0, isto é, a-b\in\mathbb{Z}_{\ge 0} e então b+(a-b)=a, logo b\le a. Portanto para quaisquer a,b um dos dois relacionamentos vale — a ordem é total.
Comentário: essa argumentação usa que os inteiros são totalmente ordenados; restringindo essa ordem aos naturais obtemos uma ordem total em \mathbb{N}.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • 2\le 5 porque 2+3=5 (aqui k=3).
  • 5\not\le 2 porque não existe k\in\mathbb{Z}_{\ge 0} com 5+k=2.
  • Se 3\le 3 e 3\le 3 então pelo que vimos 3=3 (teste da antissimetria com m=n=0).

Resposta

A relação \le em \mathbb{N} é reflexiva, antissimétrica e transitiva, portanto é uma relação de ordem; além disso, é uma ordem total (linear) em \mathbb{N}.

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