Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
f(x, y)=(x+2)^{2}-y^{2}, ponto (0,1,3).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície definida por \,z=f(x,y)=(x+2)^{2}-y^{2}\, no ponto \,(x_{0},y_{0},z_{0})=(0,1,3). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e aplicação da fórmula do plano tangente:
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl((x+2)^{2}-y^{2}\bigr)=2\,(x+2),
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((x+2)^{2}-y^{2}\bigr)=-2\,y.
No ponto (0,1) isso dá
f_{x}(0,1)=2\,(0+2)=4, \quad f_{y}(0,1)=-2\cdot1=-2.

Passo 3

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - 3 = 4\,(x - 0) + (-2)\,(y - 1).
Simplificando:
z - 3 = 4x - 2y + 2 \quad\Longrightarrow\quad z = 4x - 2y + 5.

Resposta

A equação do plano tangente é
z = 4x \;-\;2y \;+\;5.

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