Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
g(x, y)=\frac{x}{y^{2}}\, ponto \((-4,2,1).)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = g(x,y) = \frac{x}{y^{2}}
no ponto (-4,2,1).
Para isso, vamos usar o fato de que o plano tangente a z=g(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) obedece
z - z_{0} = g_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) \;+\; g_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}),
onde g_{x} e g_{y} são as derivadas parciais de g.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g(x,y)=x\,y^{-2}:
g_{x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(x\,y^{-2}\Bigr) = y^{-2},
g_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(x\,y^{-2}\Bigr) = x\,\frac{\partial}{\partial y}(y^{-2}) = x\cdot(-2)\,y^{-3} = -\frac{2x}{y^{3}}.

Passo 3

Agora avaliamos em (x_{0},y_{0}) = (-4,2):
g_{x}(-4,2) = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4},
g_{y}(-4,2) = -\frac{2\cdot(-4)}{2^{3}} = \frac{8}{8} = 1.

Passo 4

Substituindo em
z - z_{0} = g_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + g_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}),
com (x_{0},y_{0},z_{0}) = (-4,2,1), fica
z - 1 = \frac{1}{4}\,(x - (-4)) + 1\,(y - 2).

Resposta

z - 1 = \frac{1}{4}(x + 4) + (y - 2),
ou, em forma simplificada,
z = \frac{x}{4} + y.

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