Use a regra da cadeia para calcular \frac{d z}{d t}.
z=\frac{x-y}{x+2 y}, x=e^{\pi t}, y=e^{-\pi t}.

Passo 1

O enunciado nos dá z=\frac{x-y}{x+2y} com x=e^{\pi t} e y=e^{-\pi t}, e pede \frac{dz}{dt}. Vamos usar a regra da cadeia, que afirma
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y usando a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(1)(x+2y)-(x-y)(1)}{(x+2y)^2} = \frac{x+2y -x +y}{(x+2y)^2} = \frac{3y}{(x+2y)^2},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(-1)(x+2y)-(x-y)(2)}{(x+2y)^2} = \frac{-x-2y -2x +2y}{(x+2y)^2} = \frac{-3x}{(x+2y)^2}.

Passo 3

Derivamos x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \pi e^{\pi t} = \pi x, \quad \frac{dy}{dt} = -\pi e^{-\pi t} = -\pi y.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{3y}{(x+2y)^2}\cdot(\pi x) + \frac{-3x}{(x+2y)^2}\cdot(-\pi y) = \frac{3\pi xy}{(x+2y)^2} + \frac{3\pi xy}{(x+2y)^2}.

Passo 5

Somando os termos iguais:
\frac{dz}{dt} = \frac{6\pi\,x y}{(x+2y)^2}.
Como x y=e^{\pi t}e^{-\pi t}=1, podemos escrever também
\frac{dz}{dt} = \frac{6\pi}{\bigl(e^{\pi t}+2e^{-\pi t}\bigr)^2}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{6\pi\,x y}{(x+2y)^2} \quad\text{ou}\quad \frac{dz}{dt} = \frac{6\pi}{\bigl(e^{\pi t}+2e^{-\pi t}\bigr)^2}.

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