Sabendo que as coordenadas do centro de massa de uma lamina ocupando a região D e tendo função densidade rho(x, y) são
barx=1m integral duplaD x rho(x, y) d A
e
bary=1m integral duplaD y rho(x, y) d A
onde m=integral duplaD rho(x, y) d A, calculemos nos caso seguintes tais coordenadas.
D=(x, y) ; 0 <= x <= 2 e-1 <= y <= 1 ; rho(x, y)=x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região específica no plano, usando a função de densidade rho(x, y) = x y^2. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular a massa total da lâmina e as coordenadas do centro de massa (barx, bary).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total m da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função de densidade sobre a região D:
m = integral duplaD rho(x, y) , dA = integral duplaD x y^2 , dA
A região D está definida por 0 <= x <= 2 e -1 <= y <= 1. Então, podemos escrever a integral como:
m = integral0^2 integral-1^1 x y^2 , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral-1^1 x y^2 , dy
Como x é uma constante em relação a y, podemos tirá-lo da integral:
x integral-1^1 y^2 , dy
Integrando y^2 em relação a y:
x [ y^33 ]-1^1 = x ( 1^33 - (-1)^33 ) = x ( 13 - ( -13 ) ) = x ( 23 ) = 2x3

Passo 4

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:
m = integral0^2 2x3 , dx
Integrando 2x3 em relação a x:
23 integral0^2 x , dx = 23 [ x^22 ]0^2 = 23 ( 42 - 0 ) = 23 times 2 = 43
Então, a massa total m é 43.

Passo 5

Agora que temos a massa, vamos calcular barx. A fórmula para barx é:
barx = 1m integral duplaD x rho(x, y) , dA = 1m integral duplaD x cdot x y^2 , dA = 1m integral duplaD x^2 y^2 , dA
Então, nossa integral fica:
barx = 143 integral0^2 integral-1^1 x^2 y^2 , dy , dx = 34 integral0^2 integral-1^1 x^2 y^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral-1^1 x^2 y^2 , dy
Novamente, x^2 é constante em relação a y:
x^2 integral-1^1 y^2 , dy = x^2 [ y^33 ]-1^1 = x^2 ( 13 - ( -13 ) ) = x^2 times 23 = 2x^23

Passo 7

Substituindo na integral externa:
barx = 34 integral0^2 2x^23 , dx = 34 times 23 integral0^2 x^2 , dx = 12 integral0^2 x^2 , dx
Integrando x^2:
12 [ x^33 ]0^2 = 12 ( 83 - 0 ) = 12 times 83 = 43
Então, barx = 43.

Passo 8

Agora, vamos calcular bary. A fórmula para bary é:
bary = 1m integral duplaD y rho(x, y) , dA = 1m integral duplaD y cdot x y^2 , dA = 1m integral duplaD x y^3 , dA
Então, nossa integral fica:
bary = 143 integral0^2 integral-1^1 x y^3 , dy , dx = 34 integral0^2 integral-1^1 x y^3 , dy , dx

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral-1^1 x y^3 , dy
Como x é constante:
x integral-1^1 y^3 , dy
Integrando y^3:
x [ y^44 ]-1^1 = x ( 14 - 14 ) = x times 0 = 0

Passo 10

Portanto, toda a integral para bary será zero:
bary = 34 times 0 = 0

Resposta

O centro de massa da lâmina está nas coordenadas ( 43, 0 ).

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