Sabendo que as coordenadas do centro de massa de uma lamina ocupando a região
e tendo função densidade
são
e
onde
, calculemos nos caso seguintes tais coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o centro de massa de uma lâmina que ocupa uma região específica no plano, usando a função de densidade
. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular a massa total da lâmina e as coordenadas do centro de massa
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total
da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função de densidade sobre a região
:
A região
está definida por
e
. Então, podemos escrever a integral como:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
Integrando
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:
Integrando
em relação a
:
Então, a massa total
é
.
Passo 5
Agora que temos a massa, vamos calcular
. A fórmula para
é:
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Novamente,
é constante em relação a
:
Passo 7
Substituindo na integral externa:
Integrando
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
. A fórmula para
é:
Então, nossa integral fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Como
é constante:
Integrando
:
Passo 10
Portanto, toda a integral para
será zero:
Resposta
O centro de massa da lâmina está nas coordenadas
.