Determine uma equação do plano tangente á superficie
ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície e um ponto e pede a equação do plano tangente naquele ponto. Informações fornecidas:
- A superfície é
. - O ponto dado é
.
O que se pede: determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto.
Passo 2
Ideia-chave e fórmula que vamos usar (aqui explico como funciona): se a superfície é dada por
, o plano tangente em
é a melhor aproximação linear de
perto desse ponto e tem equação
Explicando cada coisa:
-
é a função que define a superfície, aqui . -
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície quando se varia mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação quando se varia mantendo fixo.
Na prova, o procedimento rápido é: (1) confirmar que o ponto pertence à superfície; (2) calculare ; (3) avaliar em ; (4) aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante e derivar termo a termo.
-
. -
(porque é constante). -
. -
. -
.
Portanto
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante.
-
. -
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Verificação de que o ponto pertence à superfície:
que coincide com a coordenada
. Portanto o ponto está sobre a superfície.
Avaliar as parciais:
Passo 5
Substituir os valores na fórmula do plano tangente:
Agora substituir números:
Simplificar (expandir):
Somando constantes: