Determine uma equação do plano tangente á superficie z=x^{2}+x y+y^{2}-10 y+5 n o ponto (3,2,4).

Passo 1

O enunciado dá a superfície e um ponto e pede a equação do plano tangente naquele ponto. Informações fornecidas:
  • A superfície é z = x^{2} + x y + y^{2} - 10y + 5.
  • O ponto dado é (3,2,4).
    O que se pede: determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto (3,2,4).

Passo 2

Ideia-chave e fórmula que vamos usar (aqui explico como funciona): se a superfície é dada por z = f(x,y), o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é a melhor aproximação linear de f perto desse ponto e tem equação
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Explicando cada coisa:
  • f(x,y) é a função que define a superfície, aqui f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}-10y+5.
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície quando se varia x mantendo y fixo.
  • f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação quando se varia y mantendo x fixo.
    Na prova, o procedimento rápido é: (1) confirmar que o ponto pertence à superfície; (2) calcular f_{x} e f_{y}; (3) avaliar em (x_{0},y_{0}); (4) aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}-10y+5.
Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar termo a termo.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(xy) = y (porque y é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2}) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-10y) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(5) = 0.
Portanto
f_{x}(x,y) = 2x + y.
Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(xy) = x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = 2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-10y) = -10.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(5) = 0.
Portanto
f_{y}(x,y) = x + 2y - 10.

Passo 4

Avaliar f, f_{x} e f_{y} no ponto (x_{0},y_{0})=(3,2).
Verificação de que o ponto pertence à superfície:
f(3,2) = 3^{2} + 3\cdot2 + 2^{2} - 10\cdot2 + 5 = 9 + 6 + 4 - 20 + 5 = 4,
que coincide com a coordenada z_{0}=4. Portanto o ponto está sobre a superfície.
Avaliar as parciais:
f_{x}(3,2) = 2\cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8,
f_{y}(3,2) = 3 + 2\cdot 2 - 10 = 3 + 4 - 10 = -3.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula do plano tangente:
z = f(3,2) + f_{x}(3,2)\,(x-3) + f_{y}(3,2)\,(y-2).
Agora substituir números:
z = 4 + 8\,(x-3) + (-3)\,(y-2).
Simplificar (expandir):
z = 4 + 8x - 24 - 3y + 6.
Somando constantes:
z = 8x - 3y - 14.

Resposta

z = 8x - 3y - 14

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