Calcule as derivadas parciais de primeira ordem (use as regras de derivação).
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
As perguntas concretas que vamos responder são:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas:
- A função é
. - Devemos usar regras de derivação (em particular a regra da cadeia e a derivada de potências).
Passo 2
O que é derivada parcial (em palavras simples): a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) mede como
varia quando só mudamos
e mantemos
e
fixos. Formalmente, a derivada parcial em relação a
é o limite
Na prática, para funções compostas como essa, usamos regras que tornam o cálculo direto: a regra da cadeia e a derivada de funções elementares.
Passo 3
Regra da cadeia (versão usada aqui): se temos
com
dependente de
, então a derivada parcial de
em relação a
é
Explicando: a derivada de
em relação a
é
. Como
depende de
, multiplica-se pela derivada de
em relação a
. Mesma lógica vale para as outras variáveis.
Passo 4
Identificar a função interna
. Aqui podemos definir
Agora calculamos as derivadas parciais de
em relação a cada variável, lembrando que, ao derivar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.
Regra de potência (utilizada abaixo): a derivada de
em relação a
é
.
Aplicando isso:
pois
e
,
(estas duas são zero porque
e
são constantes quando derivamos em relação a
).
De modo análogo:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando com as derivadas de
. Usando
(e as versões para
e
), obtemos:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova: veja o expoente inteiro
como uma única “função interna”
. Sempre que tiver
, a derivada traz de volta
multiplicado pela derivada da parte interna. Isso economiza tempo e evita erros.