Calcule as derivadas parciais de primeira ordem (use as regras de derivação).
w=e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
w = e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}.
As perguntas concretas que vamos responder são:
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial y}.
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Informações dadas:
  • A função é w(x,y,z)=e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}.
  • Devemos usar regras de derivação (em particular a regra da cadeia e a derivada de potências).

Passo 2

O que é derivada parcial (em palavras simples): a derivada parcial de w em relação a uma variável (por exemplo x) mede como w varia quando só mudamos x e mantemos y e z fixos. Formalmente, a derivada parcial em relação a x é o limite
\frac{\partial w}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y,z)-w(x,y,z)}{h}.
Na prática, para funções compostas como essa, usamos regras que tornam o cálculo direto: a regra da cadeia e a derivada de funções elementares.

Passo 3

Regra da cadeia (versão usada aqui): se temos w=e^{u(x,y,z)} com u dependente de x,y,z, então a derivada parcial de w em relação a x é
\frac{\partial w}{\partial x}=e^{u(x,y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Explicando: a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}. Como u depende de x, multiplica-se pela derivada de u em relação a x. Mesma lógica vale para as outras variáveis.

Passo 4

Identificar a função interna u. Aqui podemos definir
u(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z^{4}.
Agora calculamos as derivadas parciais de u em relação a cada variável, lembrando que, ao derivar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.
Regra de potência (utilizada abaixo): a derivada de t^{n} em relação a t é n t^{n-1}.
Aplicando isso:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{3}+z^{4}\bigr)=2x,
pois \dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x e \dfrac{\partial}{\partial x}y^{3}=0, \dfrac{\partial}{\partial x}z^{4}=0 (estas duas são zero porque y e z são constantes quando derivamos em relação a x).
De modo análogo:
\frac{\partial u}{\partial y} = 3y^{2}, \qquad \frac{\partial u}{\partial z} = 4z^{3}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando com as derivadas de u. Usando \dfrac{\partial w}{\partial x}=e^{u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x} (e as versões para y e z), obtemos:
Para x:
\frac{\partial w}{\partial x}=e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}\cdot 2x.
Para y:
\frac{\partial w}{\partial y}=e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}\cdot 3y^{2}.
Para z:
\frac{\partial w}{\partial z}=e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}\cdot 4z^{3}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova: veja o expoente inteiro x^{2}+y^{3}+z^{4} como uma única “função interna” u. Sempre que tiver e^{(\cdot)}, a derivada traz de volta e^{(\cdot)} multiplicado pela derivada da parte interna. Isso economiza tempo e evita erros.

Resposta

\dfrac{\partial w}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}
\dfrac{\partial w}{\partial y}=3y^{2}\,e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}
\dfrac{\partial w}{\partial z}=4z^{3}\,e^{x^{2}+y^{3}+z^{4}}

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