Identifique (nome, centro, eixo) cada superficie de nivel usando um valor positivo, um negativo e zero.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu identifique, para um valor positivo, um valor negativo e zero, cada superfície de nível: o nome da superfície, o centro e o(s) eixo(s). Vou tomar explicitamente os níveis
(positivo),
(negativo) e
(zero). As informações relevantes dadas são:
- A expressão de
é uma soma de quadrados com coeficientes positivos . - Não há termos lineares em
nem termos mistos .
O que preciso entregar para cada nível: nome da superfície, centro e direção dos eixos (quando aplicável).
Passo 2
Conceito básico e observação sobre sinais (mini-aula): uma superfície de nível para a função
e constante
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Repare que para qualquer
cada termo
é maior ou igual a zero porque são quadrados multiplicados por constantes positivas. Logo o lado esquerdo é sempre
. Dessa observação seguem consequências imediatas sobre quais
permitem soluções reais:
- Se
não existe real que satisfaça a igualdade (soma de não-negativos não pode ser negativo). - Se
a soma de três termos não-negativos é zero somente quando cada termo é zero, i.e. . - Se
pode haver soluções; o próximo passo mostra a forma geométrica.
Passo 3
Transformação para identificar a forma (mini-aula de normalização): quando
fatoro
para obter a forma padrão de um elipsoide. Dividindo ambos os lados de
por
dá
Esta é a equação padrão de um elipsoide centrado na origem no sistema coordenado, da forma
onde
. Portanto os semi-eixos (comprimentos positivos) são
Explicação didática: comparar com a forma padrão mostra diretamente o nome (elipsoide), o centro (onde as coordenadas que deslocariam a forma apareceriam — aqui não há termos lineares, então o centro é a origem) e os eixos (quando não há termos mistos, os eixos principais são as direções dos eixos coordenados).
Passo 4
Aplicação ao caso positivo
(exemplo concreto e interpretação para prova):
Substituindo obtemos
Substituindo
Comparando com a forma padrão, os semi-eixos são
. Portanto:
- Nome: elipsoide.
- Centro:
. - Eixos: eixos principais alinhados com os eixos coordenados
, , ; semi-eixo ao longo de tem comprimento , ao longo de tem e ao longo de tem . Observação para a prova: ordenar os semi-eixos dá qual é o maior (aqui -direção é a maior).
Passo 5
Aplicação ao caso zero
(exemplo concreto e explicação passo a passo):
Para a equação é
Para
Como cada termo é
, a soma só pode ser zero se cada termo for zero separadamente. Assim
, ou seja
. Consequência:
- A superfície de nível é o ponto
. - Nome: ponto (elipsoide degenerado).
- Centro:
. - Eixos: degenerados (não há elipsoide de dimensão 2 ou 3, só o ponto).
Passo 6
Aplicação ao caso negativo
(exemplo concreto e justificativa simples):
Para a equação seria
Para
o que não tem soluções reais porque o lado esquerdo é
e não pode igualar um valor negativo. Consequência:
- Nome: conjunto vazio (nenhuma superfície real).
- Centro/eixos: não aplicáveis porque não há pontos reais que satisfaçam a equação.