Identifique (nome, centro, eixo) cada superficie de nivel usando um valor positivo, um negativo e zero.
w=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}

Passo 1

O enunciado dá a função
w=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}
e pede que eu identifique, para um valor positivo, um valor negativo e zero, cada superfície de nível: o nome da superfície, o centro e o(s) eixo(s). Vou tomar explicitamente os níveis w=1 (positivo), w=-1 (negativo) e w=0 (zero). As informações relevantes dadas são:
  • A expressão de w é uma soma de quadrados com coeficientes positivos \tfrac{1}{4},\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{16}.
  • Não há termos lineares em x,y,z nem termos mistos xy,yz,xz.
    O que preciso entregar para cada nível: nome da superfície, centro e direção dos eixos (quando aplicável).

Passo 2

Conceito básico e observação sobre sinais (mini-aula): uma superfície de nível para a função w e constante k é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=k.
Repare que para qualquer (x,y,z) cada termo \dfrac{x^{2}}{4},\dfrac{y^{2}}{9},\dfrac{z^{2}}{16} é maior ou igual a zero porque são quadrados multiplicados por constantes positivas. Logo o lado esquerdo é sempre \ge0. Dessa observação seguem consequências imediatas sobre quais k permitem soluções reais:
  • Se k<0 não existe (x,y,z) real que satisfaça a igualdade (soma de não-negativos não pode ser negativo).
  • Se k=0 a soma de três termos não-negativos é zero somente quando cada termo é zero, i.e. x=0,\;y=0,\;z=0.
  • Se k>0 pode haver soluções; o próximo passo mostra a forma geométrica.

Passo 3

Transformação para identificar a forma (mini-aula de normalização): quando k>0 fatoro k para obter a forma padrão de um elipsoide. Dividindo ambos os lados de
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=k
por k
\frac{x^{2}}{4k}+\frac{y^{2}}{9k}+\frac{z^{2}}{16k}=1.
Esta é a equação padrão de um elipsoide centrado na origem no sistema coordenado, da forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde a^{2}=4k,\;b^{2}=9k,\;c^{2}=16k. Portanto os semi-eixos (comprimentos positivos) são
a=\sqrt{4k}=2\sqrt{k},\qquad b=\sqrt{9k}=3\sqrt{k},\qquad c=\sqrt{16k}=4\sqrt{k}.
Explicação didática: comparar com a forma padrão mostra diretamente o nome (elipsoide), o centro (onde as coordenadas que deslocariam a forma apareceriam — aqui não há termos lineares, então o centro é a origem) e os eixos (quando não há termos mistos, os eixos principais são as direções dos eixos coordenados).

Passo 4

Aplicação ao caso positivo w=1 (exemplo concreto e interpretação para prova):
Substituindo k=1 obtemos
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1.
Comparando com a forma padrão, os semi-eixos são a=2,\;b=3,\;c=4. Portanto:
  • Nome: elipsoide.
  • Centro: (0,0,0).
  • Eixos: eixos principais alinhados com os eixos coordenados x, y, z; semi-eixo ao longo de x tem comprimento 2, ao longo de y tem 3 e ao longo de z tem 4. Observação para a prova: ordenar os semi-eixos dá qual é o maior (aqui z-direção é a maior).

Passo 5

Aplicação ao caso zero w=0 (exemplo concreto e explicação passo a passo):
Para k=0 a equação é
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=0.
Como cada termo é \ge0, a soma só pode ser zero se cada termo for zero separadamente. Assim x^{2}=0,\;y^{2}=0,\;z^{2}=0, ou seja x=0,\;y=0,\;z=0. Consequência:
  • A superfície de nível é o ponto (0,0,0).
  • Nome: ponto (elipsoide degenerado).
  • Centro: (0,0,0).
  • Eixos: degenerados (não há elipsoide de dimensão 2 ou 3, só o ponto).

Passo 6

Aplicação ao caso negativo w=-1 (exemplo concreto e justificativa simples):
Para k=-1 a equação seria
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=-1,
o que não tem soluções reais porque o lado esquerdo é \ge0 e não pode igualar um valor negativo. Consequência:
  • Nome: conjunto vazio (nenhuma superfície real).
  • Centro/eixos: não aplicáveis porque não há pontos reais que satisfaçam a equação.

Resposta

w=1: elipsoide centrado em (0,0,0), eixos principais alinhados com os eixos coordenados; semi-eixos 2,\;3,\;4 ao longo de x,y,z, respectivamente.
w=0: ponto (0,0,0) (elipsoide degenerado).
w=-1: conjunto vazio (nenhuma superfície real).

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