Determine uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana fornecida.
x^2+y^2=4 y

Passo 1

O enunciado pede para converter a curva dada pela equação cartesiana
x^2+y^2=4y
para uma equação em coordenadas polares. Para isso, vamos usar as relações básicas entre as coordenadas cartesianas (x,y) e as polares (r,theta).

Passo 2

Lembramos que em coordenadas polares vale
x = rcos(theta),
y = rsin(theta),
x^2+y^2 = r^2

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação cartesiana x^2+y^2=4y, obtemos
r^2 = 4l(rsin(theta)r)

Passo 4

Para achar r em função de theta, fatoramos r:
r^2 - 4rsin(theta)=0 ;Longrightarrow; rl(r - 4sin(theta)r)=0
Dessa forma surgem duas possibilidades:
  1. r=0, que corresponde à origem.
  2. r=4sin(theta), que é a parte não degenerada da curva.

Passo 5

Em coordenadas polares, tipicamente tomamos r>=0, o que obriga sin(theta)>=0. Logo a curva não degenerada fica descrita por
r = 4sin(theta),
com theta tal que sin(theta)>=0 (ou seja, 0<=theta<=pi).

Resposta

r = 4sin(theta)

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