Esboce a curva cuja equação polar é fornecida traçando, em primeiro lugar, o gráfico de r como uma função de theta em coordenadas cartesianas.
r=theta^2,-2 pi <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r = theta^2, -2pi <= theta <= 2pi
Primeiro vamos tratar de desenhar em coordenadas cartesianas o gráfico de r em função de theta. Depois, a partir desse comportamento, traduzimos para o esboço polar.

Passo 2

Para desenhar r(theta)=theta^2 no plano (theta,r), notamos que é uma parábola voltada para cima, simétrica em relação à reta theta=0. Em particular:
r(0)=0, r(pm 1)=1, r(pm 2pi)=(2pi)^2approx39,5
Ou seja, à medida que |theta| cresce, r cresce quadraticamente, e a curva no plano (theta,r) é igual à típica “U” de uma parábola.

Passo 3

Pontos-chave para marcar no esboço de r vs.\ theta:
(theta,r)=l(0,0r), l(pmpi,pi^2r), l(pm2pi,(2pi)^2r)
Entre esses, a parábola sobe de 0 até 39,5 nas extremidades theta=pm2pi.

Passo 4

Agora passemos ao esboço polar. Lembre-se que em coordenadas polares você escolhe um ângulo theta e coloca o ponto na direção desse ângulo, a uma distância r=theta^2 do polo.
  • Para theta de 0 a 2pi, o raio cresce de 0 a (2pi)^2, enquanto o ângulo completa uma volta de 0 a 360^circ. Isso gera um “espiral” que se afasta do polo, terminando no mesmo eixo polar no ponto de distância 4pi^2.
  • Para theta de 0 a -2pi, obtemos outro ramo idêntico, mas descendo para ângulos negativos, simétrico em relação ao eixo polar.
Ambos os ramos encontram-se no pole (quando theta=0) e no ponto l(r=4pi^2,;theta=0r).

Passo 5

No esboço final você deve desenhar:
1. Um ramo superior que, partindo do polo, espirala para fora até o ponto de raio (2pi)^2 na direção de 0^circ.
2. Um ramo inferior idêntico, partindo do polo para -360^circ e chegando ao mesmo ponto de raio (2pi)^2 em 0^circ.
O resultado é uma curva com dois braços espiralados simetricamente em torno do eixo polar.

Resposta

A curva é um par de braços espiralados quadricamente (espiral de potência 2), um no hemisfério superior para thetain[0,2pi] e outro no inferior para thetain[0,-2pi], ambos saindo do polo e encontrando-se no ponto de raio 4pi^2 sobre o eixo polar.

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