Esboce a curva cuja equação polar é fornecida traçando, em primeiro lugar, o gráfico de
como uma função de
em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
Primeiro vamos tratar de desenhar em coordenadas cartesianas o gráfico de
em função de
. Depois, a partir desse comportamento, traduzimos para o esboço polar.
Passo 2
Para desenhar
no plano
, notamos que é uma parábola voltada para cima, simétrica em relação à reta
. Em particular:
Ou seja, à medida que
cresce,
cresce quadraticamente, e a curva no plano
é igual à típica “U” de uma parábola.
Passo 3
Pontos-chave para marcar no esboço de
vs.\
:
Entre esses, a parábola sobe de
até
nas extremidades
.
Passo 4
Agora passemos ao esboço polar. Lembre-se que em coordenadas polares você escolhe um ângulo
e coloca o ponto na direção desse ângulo, a uma distância
do polo.
- Para
de a , o raio cresce de a , enquanto o ângulo completa uma volta de a . Isso gera um “espiral” que se afasta do polo, terminando no mesmo eixo polar no ponto de distância . - Para
de a , obtemos outro ramo idêntico, mas descendo para ângulos negativos, simétrico em relação ao eixo polar.
Ambos os ramos encontram-se no pole (quando
) e no ponto
.
Passo 5
No esboço final você deve desenhar:
O resultado é uma curva com dois braços espiralados simetricamente em torno do eixo polar.
Resposta
A curva é um par de braços espiralados quadricamente (espiral de potência
), um no hemisfério superior para
e outro no inferior para
, ambos saindo do polo e encontrando-se no ponto de raio
sobre o eixo polar.