Questão 03. Determine a área da região plana limitada simultaneamente pelas curvas.
x=8+2 y-y^2, y=1, y=3 e x=0;

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x=8+2y-y^2, y=1, y=3 e x=0. O método mais direto é usar integração em coordenadas cartesianas, integrando em y entre os limites 1 e 3, com x variando de 0 até a curva.

Passo 2

Para cada yin[1,3], o segmento de reta horizontal vai de xesq=0 até xdir=8+2y-y^2. Assim a área é
A = integraly=1^3 l(xdir-xesqr),dy = integral1^3l(8 + 2y - y^2r),dy

Passo 3

Calculemos a integral:
integrall(8 + 2y - y^2r),dy = 8y + y^2 - y^33
avaliando de 1 a 3:
l(8cdot3 + 3^2 - tfrac3^33r) - l(8cdot1 + 1^2 - tfrac1^33r) = l(24 + 9 - 9r) - l(8 + 1 - tfrac13r) = 24 - l(9 - tfrac13r) = 24 - tfrac263

Passo 4

Simplificando:
24 - 263 = 723 - 263 = 463

Resposta

A área da região é 463.

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