Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (2,-3), eixo menor de comprimento 6, eixo maior de comprimento 10 , sendo o eixo maior vertical.
Centro (2,-3), eixo menor de comprimento 6, eixo maior de comprimento 10 , sendo o eixo maior vertical.
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida da elipse e fornece os seguintes dados:
- Centro:
. - Comprimento do eixo menor:
. - Comprimento do eixo maior:
. - O eixo maior é vertical.
O que se deve entregar: a equação reduzida (forma canônica) da elipse que satisfaz essas condições.
Passo 2
Conceito importante (explicação básica e necessária): para uma elipse com centro em
e semi-eixos
e
(com
o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor, portanto
), as formas reduzidas são:
- Se o eixo maior é horizontal:
- Se o eixo maior é vertical:
Aqui cada símbolo significa:
-
: coordenadas do centro da elipse. -
: semi-comprimento do eixo maior (metade do comprimento do eixo maior). -
: semi-comprimento do eixo menor (metade do comprimento do eixo menor).
A razão de trocare no denominador é apenas para garantir que o maior denominador esteja sob a coordenada alinhada ao eixo maior (assim ).
Passo 3
Calcular os semi-eixos a partir dos comprimentos dados:
- Como o comprimento do eixo maior é
, o semi-eixo maior é
- Como o comprimento do eixo menor é
, o semi-eixo menor é
Verificação rápida:
, então faz sentido usar a forma com eixo maior vertical.
Passo 4
Aplicar a fórmula para eixo maior vertical, com centro
,
e
. Substituindo:
-
. -
. -
. -
.
Portanto a equação fica
Passo 5
Cheque e interpretação (como verificar na prova que está coerente):
- Como o eixo maior é vertical, os vértices principais estão em
. Aqui:
- Os extremos do eixo menor estão em
. Aqui:
Esses pontos conferem: o eixo maior tem comprimento
entre
e
, e o eixo menor tem comprimento
entre
e
. Tudo consistente com os dados.