Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Centro (2,-3), eixo menor de comprimento 6, eixo maior de comprimento 10 , sendo o eixo maior vertical.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da elipse e fornece os seguintes dados:
  • Centro: (2,-3).
  • Comprimento do eixo menor: 6.
  • Comprimento do eixo maior: 10.
  • O eixo maior é vertical.
O que se deve entregar: a equação reduzida (forma canônica) da elipse que satisfaz essas condições.

Passo 2

Conceito importante (explicação básica e necessária): para uma elipse com centro em (h,k) e semi-eixos a e b (com a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor, portanto a>b), as formas reduzidas são:
  • Se o eixo maior é horizontal:
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
  • Se o eixo maior é vertical:
\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1.
Aqui cada símbolo significa:
  • h,k: coordenadas do centro da elipse.
  • a: semi-comprimento do eixo maior (metade do comprimento do eixo maior).
  • b: semi-comprimento do eixo menor (metade do comprimento do eixo menor).
    A razão de trocar a e b no denominador é apenas para garantir que o maior denominador esteja sob a coordenada alinhada ao eixo maior (assim a^2>b^2).

Passo 3

Calcular os semi-eixos a partir dos comprimentos dados:
  • Como o comprimento do eixo maior é 10, o semi-eixo maior é
a=\frac{10}{2}=5.
  • Como o comprimento do eixo menor é 6, o semi-eixo menor é
b=\frac{6}{2}=3.
Verificação rápida: a=5>b=3, então faz sentido usar a forma com eixo maior vertical.

Passo 4

Aplicar a fórmula para eixo maior vertical, com centro (h,k)=(2,-3), a=5 e b=3. Substituindo:
  • (x-h)^2=(x-2)^2.
  • (y-k)^2=(y-(-3))^2=(y+3)^2.
  • b^2=3^2=9.
  • a^2=5^2=25.
Portanto a equação fica
\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+3)^2}{25}=1.

Passo 5

Cheque e interpretação (como verificar na prova que está coerente):
  • Como o eixo maior é vertical, os vértices principais estão em (h,k\pm a). Aqui:
(h,k+a)=(2,-3+5)=(2,2), \qquad (h,k-a)=(2,-3-5)=(2,-8).
  • Os extremos do eixo menor estão em (h\pm b,k). Aqui:
(h+b,k)=(2+3,-3)=(5,-3), \qquad (h-b,k)=(2-3,-3)=(-1,-3).
Esses pontos conferem: o eixo maior tem comprimento 2a=10 entre (2,2) e (2,-8), e o eixo menor tem comprimento 2b=6 entre (5,-3) e (-1,-3). Tudo consistente com os dados.

Resposta

\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+3)^2}{25}=1

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