Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos
e
, eixo menor de comprimento 8 .
Focos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Focos em
e . - Comprimento do eixo menor igual a
.
O que se pede:
- Determinar a equação reduzida da elipse que satisfaz essas condições (ou seja, a equação padrão da elipse com centro, semi-eixos e orientação corretos).
Passo 2
Encontrar o centro da elipse e a orientação do eixo maior.
- O centro de uma elipse está no ponto médio entre os focos. O ponto médio entre
e é
- Como os focos têm a mesma coordenada
( ), eles estão alinhados verticalmente; portanto o eixo maior é vertical (ou seja, a elipse é “esticada” na direção ).
Passo 3
Determinar
, a semi-distância focal (metade da distância entre focos).
- A distância entre os focos é a diferença nas coordenadas
: . - Logo
, portanto
Passo 4
Determinar
, o semi-eixo menor.
- O enunciado deu o comprimento do eixo menor como
. Assim e
- Aqui
é o semi-eixo menor (meio do eixo menor), e será o semi-eixo maior (já que o eixo maior é vertical, teremos ).
Passo 5
Relação entre
,
e
numa elipse.
- Para uma elipse com semi-eixo maior
, semi-eixo menor e distância focal , vale a relação
- Essa relação vem da forma padrão da elipse e da posição dos focos (é uma fórmula básica que relaciona os semi-eixos e a distância focal).
Passo 6
Calcular
usando a relação anterior.
- Substituindo
e em :
- Então
- Portanto
(usamos a forma exata ).
Passo 7
Escrever a equação reduzida (padrão) da elipse com centro
e eixo maior vertical.
- A forma padrão para uma elipse centrada em
com eixo maior vertical é
onde
está sob o termo em
porque o eixo maior é vertical.
- Substituindo
, , e obtemos
Passo 8
Verificação rápida (consistência):
- Focos esperados para essa equação são
, ou seja e , que coincidem com os dados do enunciado. - O semi-eixo menor
dá eixo menor de comprimento , conforme dado.