Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos (4,-2) e (4,6), eixo menor de comprimento 8 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Focos em (4,-2) e (4,6).
  • Comprimento do eixo menor igual a 8.
O que se pede:
  • Determinar a equação reduzida da elipse que satisfaz essas condições (ou seja, a equação padrão da elipse com centro, semi-eixos e orientação corretos).

Passo 2

Encontrar o centro da elipse e a orientação do eixo maior.
  • O centro de uma elipse está no ponto médio entre os focos. O ponto médio entre (4,-2) e (4,6) é
\left(\frac{4+4}{2},\frac{-2+6}{2}\right)=(4,2).
  • Como os focos têm a mesma coordenada x ( x=4), eles estão alinhados verticalmente; portanto o eixo maior é vertical (ou seja, a elipse é “esticada” na direção y).

Passo 3

Determinar c, a semi-distância focal (metade da distância entre focos).
  • A distância entre os focos é a diferença nas coordenadas y: 6-(-2)=8.
  • Logo 2c=8, portanto
c=4.

Passo 4

Determinar b, o semi-eixo menor.
  • O enunciado deu o comprimento do eixo menor como 8. Assim 2b=8 e
b=4.
  • Aqui b é o semi-eixo menor (meio do eixo menor), e a será o semi-eixo maior (já que o eixo maior é vertical, teremos a\ge b).

Passo 5

Relação entre a, b e c numa elipse.
  • Para uma elipse com semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e distância focal c, vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
  • Essa relação vem da forma padrão da elipse e da posição dos focos (é uma fórmula básica que relaciona os semi-eixos e a distância focal).

Passo 6

Calcular a usando a relação anterior.
  • Substituindo b=4 e c=4 em c^{2}=a^{2}-b^{2}:
4^{2}=a^{2}-4^{2}\quad\Rightarrow\quad 16=a^{2}-16.
  • Então
a^{2}=16+16=32.
  • Portanto a=\sqrt{32}=4\sqrt{2} (usamos a forma exata \sqrt{32}).

Passo 7

Escrever a equação reduzida (padrão) da elipse com centro (h,k)=(4,2) e eixo maior vertical.
  • A forma padrão para uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior vertical é
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,
onde a^{2} está sob o termo em y porque o eixo maior é vertical.
  • Substituindo h=4, k=2, b^{2}=16 e a^{2}=32 obtemos
\frac{(x-4)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{32}=1.

Passo 8

Verificação rápida (consistência):
  • Focos esperados para essa equação são (4,2\pm c)=(4,2\pm4), ou seja (4,-2) e (4,6), que coincidem com os dados do enunciado.
  • O semi-eixo menor b=4 dá eixo menor de comprimento 2b=8, conforme dado.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-4)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{32}=1

Exercícios relacionados