Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente,
e
e
.
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente,
Passo 1
O enunciado dá pontos que são os extremos dos eixos maior e menor da elipse. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
- Pontos extremos do eixo maior:
e . - Pontos extremos do eixo menor:
e .
O que o problema pede:
- Determinar a equação reduzida da elipse que tem esses pontos como extremos dos eixos maior e menor.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar o centro da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio entre os extremos de qualquer um dos eixos (maior ou menor). Vou calcular o ponto médio entre
e
.
Fórmula do ponto médio entre
e
:
Aplicando:
Para confirmar, calculo o ponto médio entre
e
:
Portanto o centro é
. Bom sinal: ambos os pares dão o mesmo centro.
Passo 3
Determinar a orientação dos eixos (se o eixo maior é horizontal ou vertical) a partir das coordenadas dos extremos.
- Os extremos do eixo maior têm mesma coordenada
e diferente ( e ). Isso significa que o eixo maior é vertical (linha ). - Os extremos do eixo menor têm mesma coordenada
e diferente ( e ). Isso significa que o eixo menor é horizontal (linha ).
Conclusão: a elipse tem eixo maior vertical e eixo menor horizontal, ambos centrados em
.
Passo 4
Calcular as semi‑distâncias (semi-eixos)
e
.
- Para uma elipse, o semi-eixo maior é chamado de
(metade do comprimento do eixo maior) e o semi-eixo menor é chamado de (metade do comprimento do eixo menor). - Como o eixo maior é vertical,
corresponde à metade da distância entre e .
Distância total:. Logo - Como o eixo menor é horizontal,
corresponde à metade da distância entre e .
Distância total:. Logo
Portanto
e
. Observe que
, compatível com
sendo semi-eixo maior.
Passo 5
Lembrar a forma reduzida (canônica) da equação de uma elipse centrada em
e com eixos alinhados aos eixos coordenados.
- Se o eixo maior for horizontal, a forma é
- Se o eixo maior for vertical, a forma é
Aqui o eixo maior é vertical, então usamos a segunda forma. Explicando cada símbolo:
-
é o centro da elipse. -
é o semi-eixo maior (distância do centro até um extremo do eixo maior). -
é o semi-eixo menor (distância do centro até um extremo do eixo menor). - Os denominadores
e determinam “alongamento” da elipse nas direções e , respectivamente.
Passo 6
Substituir os valores encontrados
,
,
,
na forma apropriada (eixo maior vertical):
Como
e
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): testar se os extremos realmente satisfazem a equação.
- Teste com
: - Teste com
:
Ambos confirmam que a equação está correta.
Passo 8
Resumo prático para a prova: ao receber extremos de eixos, primeiro calcule o ponto médio para achar o centro; observe se coordenadas iguais indicam eixo vertical (mesma
) ou horizontal (mesma
); a metade da distância entre extremos dá
ou
; por fim substitua na forma canônica correta.