Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Os pontos limitantes dos eixos maior e menor são, respectivamente, (1,3),(1,9) e (-1,6) e (3,6).

Passo 1

O enunciado dá pontos que são os extremos dos eixos maior e menor da elipse. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
  • Pontos extremos do eixo maior: (1,3) e (1,9).
  • Pontos extremos do eixo menor: (-1,6) e (3,6).
O que o problema pede:
  • Determinar a equação reduzida da elipse que tem esses pontos como extremos dos eixos maior e menor.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar o centro da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio entre os extremos de qualquer um dos eixos (maior ou menor). Vou calcular o ponto médio entre (1,3) e (1,9).
Fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando:
\left(\frac{1+1}{2},\;\frac{3+9}{2}\right) = (1,\;6).
Para confirmar, calculo o ponto médio entre (-1,6) e (3,6):
\left(\frac{-1+3}{2},\;\frac{6+6}{2}\right) = (1,\;6).
Portanto o centro é (1,6). Bom sinal: ambos os pares dão o mesmo centro.

Passo 3

Determinar a orientação dos eixos (se o eixo maior é horizontal ou vertical) a partir das coordenadas dos extremos.
  • Os extremos do eixo maior têm mesma coordenada x=1 e y diferente ( 3 e 9). Isso significa que o eixo maior é vertical (linha x=1).
  • Os extremos do eixo menor têm mesma coordenada y=6 e x diferente ( -1 e 3). Isso significa que o eixo menor é horizontal (linha y=6).
Conclusão: a elipse tem eixo maior vertical e eixo menor horizontal, ambos centrados em (1,6).

Passo 4

Calcular as semi‑distâncias (semi-eixos) a e b.
  • Para uma elipse, o semi-eixo maior é chamado de a (metade do comprimento do eixo maior) e o semi-eixo menor é chamado de b (metade do comprimento do eixo menor).
  • Como o eixo maior é vertical, a corresponde à metade da distância entre y=3 e y=9.
    Distância total: 9-3=6. Logo a=\frac{6}{2}=3.
  • Como o eixo menor é horizontal, b corresponde à metade da distância entre x=-1 e x=3.
    Distância total: 3-(-1)=4. Logo b=\frac{4}{2}=2.
Portanto a=3 e b=2. Observe que a>b, compatível com a sendo semi-eixo maior.

Passo 5

Lembrar a forma reduzida (canônica) da equação de uma elipse centrada em (h,k) e com eixos alinhados aos eixos coordenados.
  • Se o eixo maior for horizontal, a forma é \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1.
  • Se o eixo maior for vertical, a forma é \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1.
Aqui o eixo maior é vertical, então usamos a segunda forma. Explicando cada símbolo:
  • (h,k) é o centro da elipse.
  • a é o semi-eixo maior (distância do centro até um extremo do eixo maior).
  • b é o semi-eixo menor (distância do centro até um extremo do eixo menor).
  • Os denominadores a^2 e b^2 determinam “alongamento” da elipse nas direções y e x, respectivamente.

Passo 6

Substituir os valores encontrados h=1, k=6, a=3, b=2 na forma apropriada (eixo maior vertical):
\frac{(x-1)^2}{b^2} + \frac{(y-6)^2}{a^2} = 1.
Como b^2=2^2=4 e a^2=3^2=9, obtemos
\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): testar se os extremos realmente satisfazem a equação.
  • Teste com (1,9): \frac{(1-1)^2}{4} + \frac{(9-6)^2}{9} = 0 + \frac{9}{9} = 1.
  • Teste com (-1,6): \frac{(-1-1)^2}{4} + \frac{(6-6)^2}{9} = \frac{4}{4} + 0 = 1.
Ambos confirmam que a equação está correta.

Passo 8

Resumo prático para a prova: ao receber extremos de eixos, primeiro calcule o ponto médio para achar o centro; observe se coordenadas iguais indicam eixo vertical (mesma x) ou horizontal (mesma y); a metade da distância entre extremos dá a ou b; por fim substitua na forma canônica correta.

Resposta

\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1

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