Determine a equação reduzida da reta A B quando A(2,7) e B(-1,5).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos A(2,7) e B(-1,5) e pede a equação reduzida da reta AB.
Informações relevantes:
  • Coordenadas do ponto A: x_A=2, y_A=7.
  • Coordenadas do ponto B: x_B=-1, y_B=5.
  • O que se pede: a equação reduzida da reta que passa por A e B. A equação reduzida é a forma
y = m x + b,
onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (ordenada na origem).

Passo 2

Vamos calcular primeiro o coeficiente angular m.
Explicação do conceito e da fórmula: o coeficiente angular m mede a “inclinação” da reta, isto é, quanto a ordenada y muda quando x aumenta de uma unidade. Para duas pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) a fórmula é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui, as diferenças representam "variação em y" dividida por "variação em x". É essencial que x_2\neq x_1 para a fórmula fazer sentido (caso contrário a reta é vertical e não tem forma reduzida).

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior aos pontos A(2,7) e B(-1,5):
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-7}{-1-2}.
Agora calculamos as diferenças:
5-7=-2,\qquad -1-2=-3.
Portanto
m=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}.
Interpretação rápida: m=\dfrac{2}{3}>0 significa que a reta sobe da esquerda para a direita; para cada aumento de 3 em x, y aumenta 2.

Passo 4

Agora precisamos achar o coeficiente linear b. Usamos a equação y=mx+b e substituímos as coordenadas de um dos pontos (pode-se usar A ou B). Vou usar A(2,7).
Substituindo x=2, y=7 e m=\dfrac{2}{3} em y=mx+b:
7=\frac{2}{3}\cdot 2 + b.
Calcule o produto:
\frac{2}{3}\cdot 2 = \frac{4}{3}.
Então
7 = \frac{4}{3} + b.
Isolando b:
b = 7 - \frac{4}{3}.
Colocando 7 com denominador 3:
7 = \frac{21}{3},
então
b = \frac{21}{3} - \frac{4}{3} = \frac{17}{3}.

Passo 5

Agora escrevemos a equação reduzida com os valores encontrados para m e b:
y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}.
Verificação rápida (checagem): substituindo x=-1 (ponto B):
y = \frac{2}{3}\cdot(-1) + \frac{17}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{17}{3} = \frac{15}{3} = 5,
que é exatamente y_B. Ótimo — a equação está correta.

Resposta

y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{17}{3}

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