Demonstre que r: \frac{x}{3}+\frac{y}{7}=1 e s: \frac{x}{7}=\frac{y}{3} são retas perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede para mostrar que elas são perpendiculares. As informações que temos:
  • Reta r: \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}=1.
  • Reta s: \dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{3}.
O que se pede: demonstrar, a partir dessas equações, que as duas retas são perpendiculares.

Passo 2

Ideia / ferramenta principal que vamos usar (explicada com calma).
  • Para uma reta escrita na forma y=mx+b, o número m é o coeficiente angular (a inclinação, ou “slope”). Ele indica quanto y varia quando x aumenta uma unidade.
  • Duas retas não verticais com coeficientes angulares m_1 e m_2 são perpendiculares se, e só se, o produto m_1 m_2 = -1. Em palavras: os coeficientes angulares são negativos recíprocos um do outro (por exemplo 2 e -\tfrac{1}{2}).
  • Então: vamos transformar cada equação dada para a forma y=mx+b, identificar m e testar m_r m_s = -1.

Passo 3

Transformar a equação de r para achar seu coeficiente angular passo a passo.
Partimos de
\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}=1.
Multiplica-se por 21 (para eliminar denominadores):
21\!\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{7}\right)=21\cdot 1
7x+3y=21.
Isolando y:
3y=21-7x
y=7-\dfrac{7}{3}x.
Colocando na ordem usual y=mx+b:
y=-\dfrac{7}{3}x+7.
Portanto o coeficiente angular da reta r é
m_r=-\dfrac{7}{3}.

Passo 4

Transformar a equação de s para achar seu coeficiente angular passo a passo.
Partimos de
\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{3}.
Fazendo a multiplicação cruzada:
3x=7y.
Isolando y:
y=\dfrac{3}{7}x.
Aqui não há termo constante; a forma é y=m_s x + 0. Portanto o coeficiente angular da reta s é
m_s=\dfrac{3}{7}.

Passo 5

Verificar a condição de perpendicularidade.
Calculamos o produto dos coeficientes angulares:
m_r m_s = \left(-\dfrac{7}{3}\right)\left(\dfrac{3}{7}\right) = -1.
Como o produto é -1, pelas regras explicadas no Passo 2 as retas são perpendiculares.

Passo 6

Uma verificação alternativa (opcional, para reforçar a intuição) usando vetores-direção e produto escalar.
  • Reescrevendo as equações em forma padrão:
r: \;7x+3y=21,\qquad s: \;3x-7y=0.
  • Um vetor normal a r é n_r=(7,3), logo um vetor-direção de r é v_r=(-3,7) (qualquer vetor perpendicular a n_r serve).
  • Um vetor normal a s é n_s=(3,-7), logo um vetor-direção de s é v_s=(7,3).
  • Produto escalar:
v_r\cdot v_s = (-3)\cdot 7 + 7\cdot 3 = -21+21=0.
Produto escalar zero significa vetores-perpendiculares, portanto as retas são perpendiculares. Isso confirma o resultado do método dos coeficientes angulares.

Resposta

Sim. m_r=-\dfrac{7}{3},\; m_s=\dfrac{3}{7} e m_r m_s=-1, logo as retas são perpendiculares.

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