Demonstre que r:
e s:
são retas perpendiculares.
Passo 1
O enunciado dá duas retas e pede para mostrar que elas são perpendiculares. As informações que temos:
- Reta
: . - Reta
: .
O que se pede: demonstrar, a partir dessas equações, que as duas retas são perpendiculares.
Passo 2
Ideia / ferramenta principal que vamos usar (explicada com calma).
- Para uma reta escrita na forma
, o número é o coeficiente angular (a inclinação, ou “slope”). Ele indica quanto varia quando aumenta uma unidade. - Duas retas não verticais com coeficientes angulares
e são perpendiculares se, e só se, o produto . Em palavras: os coeficientes angulares são negativos recíprocos um do outro (por exemplo e ). - Então: vamos transformar cada equação dada para a forma
, identificar e testar .
Passo 3
Transformar a equação de
para achar seu coeficiente angular passo a passo.
Partimos de
Partimos de
Multiplica-se por
(para eliminar denominadores):
Isolando
:
Colocando na ordem usual
:
Portanto o coeficiente angular da reta
é
Passo 4
Transformar a equação de
para achar seu coeficiente angular passo a passo.
Partimos de
Partimos de
Fazendo a multiplicação cruzada:
Isolando
:
Aqui não há termo constante; a forma é
. Portanto o coeficiente angular da reta
é
Passo 5
Verificar a condição de perpendicularidade.
Calculamos o produto dos coeficientes angulares:
Calculamos o produto dos coeficientes angulares:
Como o produto é
, pelas regras explicadas no Passo 2 as retas são perpendiculares.
Passo 6
Uma verificação alternativa (opcional, para reforçar a intuição) usando vetores-direção e produto escalar.
- Reescrevendo as equações em forma padrão:
- Um vetor normal a
é , logo um vetor-direção de é (qualquer vetor perpendicular a serve). - Um vetor normal a
é , logo um vetor-direção de é . - Produto escalar:
Produto escalar zero significa vetores-perpendiculares, portanto as retas são perpendiculares. Isso confirma o resultado do método dos coeficientes angulares.
Resposta
Sim.
e
, logo as retas são perpendiculares.