Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja \frac{1}{k} (constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado diz que uma reta varia tal que a soma dos inversos dos comprimentos dos segmentos que ela determina sobre os eixos é constante e igual a \dfrac{1}{k}. Vou listar as informações úteis e o que é pedido:
  • Seja a a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x, isto é, a reta passa por (a,0) com a\neq0.
  • Seja b a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y, isto é, a reta passa por (0,b) com b\neq0.
  • A hipótese do problema (peguei isto do enunciado) é que
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{k},
onde k é constante (assume-se k\neq0).
  • O que se pede: provar que todas as retas que satisfazem essa condição passam por um mesmo ponto fixo P do plano cartesiano (ou seja, mostrar explicitamente as coordenadas de P).

Passo 2

Expressar a equação da reta em função de a e b. Se a reta corta os eixos em (a,0) e (0,b), então sua equação no chamado “forma dos interceptos” é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.
Explicando por que: uma reta afim que passa por (a,0) e (0,b) é linear; substituindo (a,0) obtém-se a/a+0=1 e substituindo (0,b) obtém-se 0+b/b=1, logo a forma acima é satisfeita por esses dois pontos e representa exatamente essa reta.

Passo 3

Tornar a condição mais conveniente usando os inversos. Defina
u=\frac{1}{a},\qquad v=\frac{1}{b}.
Com essa substituição a condição do enunciado fica simples:
u+v=\frac{1}{k}.
Também a equação da reta \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 pode ser reescrita multiplicando por uv ou, mais direto, substituindo 1/a=u e 1/b=v, obtendo-se a forma
u\,x+v\,y=1.
Essa forma é muito útil: a família de retas em questão é dada por todas as retas da forma u x+v y=1 com u+v=\dfrac{1}{k}.

Passo 4

Procurar um ponto P=(x_0,y_0) comum a todas essas retas. Se P pertence a toda reta da família, então para todo par (u,v) com u+v=\dfrac{1}{k} deve valer
u\,x_0+v\,y_0=1.
Como v=\dfrac{1}{k}-u, substituindo na igualdade obtemos
u\,x_0+\Big(\frac{1}{k}-u\Big)y_0=1.
Agrupando termos em u,
u\,(x_0-y_0)+\frac{y_0}{k}=1.
Agora raciocine assim: u pode variar (há muitos pares (u,v) com soma fixa), portanto a expressão à esquerda é uma função afim de u que deve ser numericamente igual a 1 para todos os u possíveis. A única forma de uma expressão afim em u ser constante para todos os u é ter o coeficiente de u igual a zero. Assim é necessário e suficiente que
x_0-y_0=0
e ao mesmo tempo
\frac{y_0}{k}=1.
Da primeira equação vem x_0=y_0. Da segunda vem y_0=k. Portanto
x_0=y_0=k.

Passo 5

Conclui-se que o ponto P comum a todas as retas da família é
P=(k,k).
Interpretação rápida: em vez de pensar na reta movendo-se, pense nos coeficientes u=\tfrac{1}{a} e v=\tfrac{1}{b} variando sobre a reta u+v=\tfrac{1}{k} no plano (u,v). A condição u x+v y=1 imposta a x,y ser fixos para qualquer (u,v) dessa reta força x=y=k.

Resposta

P=(k,k)

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