Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja
(constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado diz que uma reta varia tal que a soma dos inversos dos comprimentos dos segmentos que ela determina sobre os eixos é constante e igual a
. Vou listar as informações úteis e o que é pedido:
- Seja
a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo , isto é, a reta passa por com . - Seja
a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo , isto é, a reta passa por com . - A hipótese do problema (peguei isto do enunciado) é que
onde
é constante (assume-se
).
- O que se pede: provar que todas as retas que satisfazem essa condição passam por um mesmo ponto fixo
do plano cartesiano (ou seja, mostrar explicitamente as coordenadas de ).
Passo 2
Expressar a equação da reta em função de
e
. Se a reta corta os eixos em
e
, então sua equação no chamado “forma dos interceptos” é
Explicando por que: uma reta afim que passa por
e
é linear; substituindo
obtém-se
e substituindo
obtém-se
, logo a forma acima é satisfeita por esses dois pontos e representa exatamente essa reta.
Passo 3
Tornar a condição mais conveniente usando os inversos. Defina
Com essa substituição a condição do enunciado fica simples:
Também a equação da reta
pode ser reescrita multiplicando por
ou, mais direto, substituindo
e
, obtendo-se a forma
Essa forma é muito útil: a família de retas em questão é dada por todas as retas da forma
com
.
Passo 4
Procurar um ponto
comum a todas essas retas. Se
pertence a toda reta da família, então para todo par
com
deve valer
Como
, substituindo na igualdade obtemos
Agrupando termos em
,
Agora raciocine assim:
pode variar (há muitos pares
com soma fixa), portanto a expressão à esquerda é uma função afim de
que deve ser numericamente igual a
para todos os
possíveis. A única forma de uma expressão afim em
ser constante para todos os
é ter o coeficiente de
igual a zero. Assim é necessário e suficiente que
e ao mesmo tempo
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Portanto
Passo 5
Conclui-se que o ponto
comum a todas as retas da família é
Interpretação rápida: em vez de pensar na reta movendo-se, pense nos coeficientes
e
variando sobre a reta
no plano
. A condição
imposta a
ser fixos para qualquer
dessa reta força
.