Determine a equação da reta que contém o ponto A=(1,1,2), é paralela ao plano pi: x-2 y+2 z=4 e dista raiz22 da reta r:lx=3+4 t y=1+t z=1-t t in R

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por A=(1,1,2), é paralela ao plano π: x–2y+2z=4 e cuja distância à reta r: x=3+4t,;y=1+t,;z=1−t seja tfracraiz22. Vamos usar as condições de paralelismo a plano (vetor diretor ortogonal ao normal), estudo de retas em um mesmo plano e fórmula de distância entre retas paralelas.

Passo 2

Para que a reta ℓ seja paralela a π, seu vetor diretor v deve satisfazer vcdot n=0, onde n=(1,−2,2). Se v=(a,b,c), então
a−2b+2c=0

Passo 3

A reta r tem vetor diretor d=(4,1,−1) e verifica
dcdot n =4−2−2=0,
logo r também é paralela a π. Assim ℓ e r ficam contidas num mesmo plano π′ paralelo a π que passa por A. Se v não for paralelo a d, ℓ e r se cruzam (distância zero). Para ter distância não nula, ℓ deve ser paralela a r, ou seja, v colinear a d.

Passo 4

Escolhendo v=d=(4,1,−1), a equação paramétrica de ℓ é
x=1+4t, y=1+t, z=2−t, tinR

Passo 5

Verificamos a distância entre retas paralelas por
dist=|(A−P)times d||d|,
onde P=(3,1,1). Temos
A−P=(-2,0,1),
(A−P)times d =(-1,2,−2),
|(A−P)times d|=3 e |d|=raiz18=3raiz2. Logo
dist=33raiz2=1raiz2=raiz22,
conforme exigido.

Resposta

A reta procurada é
x=1+4t, y=1+t, z=2−t, tinR,
ou, na forma simétrica,
x−14=y−11=z−2-1

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