Deterrnine a equação dos seguintes planos:
b) Perpendicular ao vetor v=(4,2,-4) cuja distância à origem é 6 unidades;

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que seja perpendicular ao vetor v=(4,2,-4) e cuja distância à origem seja 6 unidades. O conteúdo envolvido é a definição de equação geral de um plano a partir de um vetor normal e a fórmula da distância de um ponto (aqui a origem) a um plano.

Passo 2

Para um plano com vetor normal n=(A,B,C), a equação geral é
Ax + By + Cz + D = 0
E a distância da origem (0,0,0) a esse plano é dada por
dist = |D|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 3

Como o plano deve ser perpendicular a v=(4,2,-4), podemos escolher A=4, B=2, C=-4. Calculamos o módulo de n:
|n| = raiz4^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6

Passo 4

Queremos que a distância até a origem seja 6, ou seja,
|D||n| = 6
Substituindo |n| = 6 obtemos
|D|6 = 6 Longrightarrow |D| = 36

Passo 5

Isso gera duas possibilidades para D: D = +36 ou D = -36. Logo, as equações dos planos são
4x + 2y - 4z + 36 = 0
ou
4x + 2y - 4z - 36 = 0

Passo 6

Esses dois planos têm o mesmo vetor normal (4,2,-4) e estão a 6 unidades de distância da origem, um de cada lado desta.

Resposta

As equações são:
4x + 2y - 4z + 36 = 0
ou
4x + 2y - 4z - 36 = 0

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