A função f(x)=rlc1 & se & x in Q -1 & se & x notin Q, é periódica para algum período?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=1 se xinQ e f(x)=-1 se xnotinQ. O conteúdo é periodicidade de funções: precisamos usar a definição de período T, isto é, f(x+T)=f(x) para todo x.

Passo 2

Uma função f é periódica de período Tneq 0 se, para todo x, vale
f(x+T)=f(x)

Passo 3

Suponha que T seja racional, ou seja, TinQ. Sabemos que a soma de dois números racionais é racional e que a soma de irracional com racional é irracional. Logo, para qualquer x:
  • Se xinQ, então x+TinQ, logo f(x+T)=1=f(x)
  • Se xnotinQ, então x+TnotinQ, logo f(x+T)=-1=f(x)
    Portanto, todo TinQsetminus0 satisfaz f(x+T)=f(x).

Passo 4

Agora suponha que T seja irracional. Então se xinQ, temos x+TnotinQ e portanto
f(x+T)=-1neq 1=f(x),
o que quebra a periodicidade. Logo, nenhum TnotinQ pode ser período.

Passo 5

Concluímos que a função é periódica e que todo número racional não nulo é período. Porém não existe um menor período positivo, pois não há menor elemento em Q^+.

Resposta

Sim. Qualquer TinQsetminus0 é período de f, mas não há período fundamental (menor período positivo).

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