A função
, é periódica para algum período?
Passo 1
O enunciado dá a função
se
e
se
. O conteúdo é periodicidade de funções: precisamos usar a definição de período
, isto é,
para todo
.
Passo 2
Uma função
é periódica de período
se, para todo
, vale
Passo 3
Suponha que
seja racional, ou seja,
. Sabemos que a soma de dois números racionais é racional e que a soma de irracional com racional é irracional. Logo, para qualquer
:
- Se
, então , logo - Se
, então , logo
Portanto, todosatisfaz .
Passo 4
Agora suponha que
seja irracional. Então se
, temos
e portanto
o que quebra a periodicidade. Logo, nenhum
pode ser período.
Passo 5
Concluímos que a função é periódica e que todo número racional não nulo é período. Porém não existe um menor período positivo, pois não há menor elemento em
.
Resposta
Sim. Qualquer
é período de
, mas não há período fundamental (menor período positivo).