Determine uma equação para a reta normal à curva: 2 x+y+5=0;

Passo 1

O enunciado pede para achar a reta normal à curva dada pela equação 2x + y + 5 = 0. Aqui a curva é uma reta, de “tendência” constante, então vamos usar o conceito de reta tangente (que coincide com a própria curva) e a reta normal, que é perpendicular a ela.

Passo 2

Primeiro, expressamos a curva em forma explícita y = f(x) para identificar o coeficiente angular da reta tangente. A partir de 2x + y + 5 = 0 temos
y = -2x - 5,
então o coeficiente angular da reta tangente é m_t = -2.

Passo 3

A reta normal é perpendicular à reta tangente, portanto seu coeficiente angular m_n satisfaz m_n · m_t = -1. Assim
mn = -1mt = -1-2 = 12

Passo 4

Para escrever a equação da reta normal em um ponto genérico (x0,y0) sobre a curva, usamos a forma ponto-declive:
y - y0 = mn,(x - x0) = 12,(x - x0),sendo que y0 e x0 estão ligados pela própria curva, isto é, y0 = -2x0 - 5.
Opcionalmente, podemos passar para a forma geral. Substituindo y0 e multiplicando ambos os lados por 2:
2y - 2y0 = x - x0 Longrightarrow x - 2y + (2y0 - x0) = 0

Passo 5

Como 2y0 - x0 = 2(-2x0-5) - x0 = -5x0 -10, a família de retas normais é
x - 2y -5x0 -10 = 0,onde x0 é a abscissa do ponto de contato na curva.

Resposta

A reta normal à curva em um ponto genérico (x0,y0) é
y - y0 = tfrac12,(x - x0),
sendo y0 = -2x0 - 5.

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